Nouvelle courbe

 Amis de la poésie mathématique, bonjour.
 Nous allons nous intéresser ce jour à la courbe f(x)=x^3+3x-4
 Le regard avisé de l'expert en mathématique analytique reconnait tout de suite une pente ascendante très marqué, passant par les points A(0,-4) et B(1,0).
Il n'y a pas besoin de grands calculs pour le savoir.
La fonction dérivée est également très simple à trouver y'=3x²+3.
Elle montre qu'il n'y a pas de racine, et donc aucune inflexion de la courbe sur une quelconque tangente horizontale. C'est une courbe qui comme le corbeau de la Fontaine, croasse sans cesse.
Maintenant les choses ce compliquent, et nous passons tout de suite du niveau de l'étudiant de 16 ans, au niveau de grand ponte mathématicien complètement dépassé.
Que sont les trois racines de cette courbe?
Ici, cela se complique considérablement. Certes, nous avons vu d'emblée le point B. Nous ne sommes pas aveugles.
Mais par un réflexe très hâtif, comme souvent en mathématiques des complexes ou en relativité restreinte,
le chercheur peut s'enfoncer dans une bourde qu'il n'aura même pas vu venir, et trouver (comme tout le monde) deux racines complexes supplémentaires très étranges, mais surtout complètement fausses. D'où va venir la bourde?
On pose que x^3+3x-4, puisqu'on connait une racine réelle, peut se décomposer.
Et on dit x^3+3x-4=(x²+x+4)(x-1)
Reste donc à trouver le racines complexes de (x²+x+4).
Sauf qu'une étrangeté apparait, et il ne semble pas que ça marche comme ça.
La question qui se pose est celle-ci : "Est-il légitime de sortir d'abord une racine réelle, puis avec ce qui reste, sortir deux racines complexes?".
Bref, le fait de sortir de l'équation primitive qui comporte peut-être une ou deux racines complexes, une partie des valeurs ne fausse-t-elle pas le résultat ultérieur pratiqué sur une équation amputée? Les racines complexes étranges obtenues par ce moyen sont x=(1/2)(+/-)sqrt(3,75)
Soit, si nous les représentons sur le repère cartésien (exit le repère complexe qui n'a rien à voir avec notre recherche), C(1.4365,0) et D(2.4365,0) dont je me demande bien ce que nous allons en faire et à quoi ils correspondent de cohérent. Si nous prenons l'idée de la courbe imaginaire g(x) en miroir au point (0,-4), nous remarquons que g(x) se retrouve dans la même position que f(x), et que le point imaginaire reliant B de f(x) est identique à lui-même par rotation de 180° sur A. Cela veut dire que la racine imaginaire de f(x) [qui est la réelle de g(x)] est la même que sa racine réelle.
Si l'on sort donc de l'erreur possible des mathématiciens dans leur recherche trop rapide et mal interprétée, des racines de la courbe, j'en arrive à me demander si nous n'avons par une triple racine qui est x'=x"=x'"=1 et rien d'autre.
Je vous laisse à vos réflexions.
R.H.