Re: Comment trouver des racines complexes cohérentes?

Le 01/03/2025 à 15:16, Python a écrit :
..

Blague à part, j'ai un peu cherché si la structure que Hachel proposait au départ avec ces règles de multiplication : (a, b)*(a', b') = (aa'+bb', ab'+a'b) n'avait pas déjà été étudiée. Étant donné que c'est clairement un anneau (mais pas un corps puisqu'il y a des diviseurs de zéro) c'était probable.
 Et bien c'est le cas ! Ça s'appelle l'ensemble des nombres complexes déployés (en anglais : "split-complex numbers") :
 https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe_d%C3%A9ploy%C3%A9
 Je suis tombé dessus en regardant une vidéo de Michael Penn :
 https://www.youtube.com/watch?v=r5mccK8mNw8&t=6s
 Il y démontre qu'il n'y a que trois R-algèbres commutatives sur R^2 :

 Erratum : *associatives*
 

- Les duaux R(epsilon) avec epsilon^2 = 0 (i.e. R[X]/X^2) - Les complexes R(i) avec i^2 = -1 (i.e. R[X]/(X^2 + 1)
- Les nombres complexes déployés ou "fendus" R(j) avec j^2 = 1 (i.e. R[X]/(X^2 - 1))
 Seuls les complexes forment un corps parmi ces trois possibilités. Ils ont tout trois aussi une représentation matricielle.
 Ce qui fera plaisir à Hachel, est que ces nombres complexes déployés permettent de façon naturelle d'exprimer les transformations de Lorentz puisque ses isométries sont les rotations hyperboliques.
 On y trouve un analogue à l'identité d'Euler e^(i*theta) = cos(theta) * i*sin(theta) qui est :
e^(j*theta) = cosh(theta) + j*sinh(theta)  Notez bien que si R(j) correspond à la première structure proposée par Hachel, ça ne correspond pas du tout avec sa seconde proposition d'introduire un élément tel que i^2 = i^4 = -1 qui, comme il lui a été signalé ici et sur sci.math) mène à des contradictions immédiates.
 Il est aussi tout à fait absurde de prétendre, comme il l'a fait avant de partir sur une autre idée incohérente (i^4 = i^2 = -1), qu'une de ces trois structures serait la "bonne" et les autres les "mauvaises".  Bref, Hachel avait une idée qui, pour une fois, n'était pas absurde. Curieusement il l'a abandonnée pour une autre totalement incohérente et contradictoire.

Au passage, ce que Hachel décrivait dans son histoire d'élèves dans les classes du matin et du soir à Plougastel, une fois correctement exprimé, correspond bien à quelque chose de connu :
Hachel prenait la différence entre les effectifs pour une composante, et leur somme pour l'autre et considérait le produit obtenu, non pas avec les règles dans C, mais dans R(j). C'est-à-dire qu'en partant de x et y on construit (x - y) + (x + y)*j où j^2 = 1
En posant a = x - y et b = x + y c'est a + b*j, idem partant de x' et y' on pose a' = x' - y' et b' = x' + y'
Il est remarquable que le produit de ces deux "nombres" conduit à des composantes a*a' et b*b'. Donc (dans le cas particulier d'entiers positifs) à des cardinaux de produit cartésien (puisque card(AxB) = card(A)xcard(B)). Bon, pour calculer une multiplication d'entiers ça nous fait une belle jambe, mais c'est une caractéristique, en général, pour des réels quelconques, intéressante.
cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Split-complex_number#The_diagonal_basis
En Relativité Restreinte ça correspond à un changement de base en prenant des vecteurs du cône de lumière !
C'était pas si mal cette idée, dommage qu'il l'ait abandonnée pour une absurdité (i^2 = i^4 = -1) et qu'il se soit mis en tête que c'était "mieux" que les nombres complexe. C'est pas mieux, c'est autre chose qui est simplement intéressant *aussi*. Certes Clifford l'a trouvé aux XIXe siècle (ce qu'il appelait des "motors" par opposition aux "spinors" qui correspondent à C).
Tu vois que je ne fais pas dans le "anti-Hachélisme primaire", quand tu tombes sur un truc intéressant que je n'avais pas remarqué, je l'admet bien volontiers Richard. Ça ne veut pas dire, hein, que tu ne profères pas, l'immense majorité du temps, des sottises. Dommage que tu te sois mis en tête l'idée absurde de "remplacer" les complexes (qui sont ce qu'ils sont) au lieu d'étudier ton idée pour ce qu'elle est, et de chercher si ça n'avait pas été déjà été étudié et nommé... Tu n'est pas un génie, mais tu as redécouvert un truc intéressant.