Re: Nouvelle équation à racines complexes

Le 03/03/2025 à 15:40, Thomas Alexandre a écrit :

Le Mon, 03 Mar 25 12:40:51 +0000, Python a écrit :
 [les nombres complexes]

ça permet de retrouver en deux lignes la plupart des formules de
trigonométrie qui prennent, sans les nombres complexes, des pages
entières pour les établir

 Tout à fait. Récemment j'avais besoin de la formule de duplication de cos, ne l'ayant pas utilisée depuis ... ouh ! ... j'avais comme un gros doute.
 Mais, de tête :
 cos(2a) = Re[ exp(i2a) ]
= Re[ exp(ia)² ]
        = Re[ (cos a + i sin a)² ]
        = Re[ cos² a + 2i cos(a)sin(a) - sin² a ]
        = cos² a - sin² a
 j'ai vite retrouvé mes petits, et sin(2a) en passant.
 Pour cos(3a) j'aurais pris un papier et un crayon :)

Tout à fait. Et avec les "nombres perplexes" a + b*j où j^2 = 1 (mais j =/=1) comme on a exp(j*a) = cosh(a) + j*sinh(a) on peut aussi retrouver toutes les formules de trigonométrie hyperbolique.
Ceci dit on y arrive aussi en restant dans C et en utilisant la formule d'Euler, puisque cosh(a) = cos(i*a), sinh(a) = -i*sin(i*a).