Re: x^4-5x2+4

Le 09/03/2025 à 19:30, Richard Hachel a écrit :

Cette fonction f(x) a quatre racines réelles.  x1=-2, x2=-1; x3=1, x4=2.
 Il est absolument impossible qu'elle n'ait pas de racines complexes.

Ce sont déjà des racines complexes puisque l'ensemble des nombres complexes (C) contient l'ensemble des nombres réels (R). Si tu étudie ce polynôme dans une *autre* extension de R ne l'appelle pas "complexe". Dans C tel qu'il est défini ce sont les seules racines. Et dans C on a un théorème qui énonce que le nombre de racines (en comptant les multiplicité) est exactement le degré du polynôme.
Dans R(j), qui est la structure avec la multiplication que tu aimes bien, ce théorème est faux.
Exemple : x^2 - 1 = 0 a quatre racines dans R(j) : 1, -1, j, -j alors que le degré est 2.

Cela montre qu'une courbe peut avoir plus de racines que son degré. Il semble par contre qu'une courbe peut avoir moins de racines que sont degré.

Dans R oui, dans C non.

La courbe y=x^4+1 a deux racines complexes seulement, pour peu qu'on ne calcule rien avec des notions complexes déjantées.

Il n'y a rien de "déjantée". C est parfaitement défini. x^4 + 1 a exactement 4 racine dans C.

f(x)=x^4-5x2+4 mériterait d'être étudié avec sérieux.

J'en doute. Mais je peux me tromper.