Re: Nouvelle courbe (Complexes).

Le 10/03/2025 à 15:21, efji a écrit :

Le 10/03/2025 à 15:10, Richard Hachel a écrit :

Le 10/03/2025 à 14:59, efji a écrit :

Le 10/03/2025 à 14:52, Richard Hachel a écrit :

On pose la fonction suivante :
>
f(x)=x^3+3x^2+3x+7
>
Si l'on suit ce que dis Richard Hachel (c'est moi), cette fonction possède une image en miroir de point $(0,y).
>
Elle est simple à trouver (niveau CM2).
Cette fonction g(x) est une image avec rotation de 180° basée sur $.
Ceci bien compris, on demande quelle est la racine complexe (il n'y en a qu'une) de la courbe f(x) si l'on prend comme concept ce que nous avons dit précédemment.

 

2/ Jusqu'à ce que tu nous prouves le contraire, le théorème fondamental de l'algèbre est juste, et donc l'équation f(x)=0 possède 3 racines.

 Deux racines. L'une réelle, l'autre complexe.

 Le produit des racines vaut -7 (niveau 2nd).
Un réel multiplié par un complexe non réel ne peut pas faire -7.

  Un complexe se transforme en réel de façon très simple si l'on part du principe que i^x=-1 quelque soit i.
 Z=5+2i=3

La racine réelle est compliquée, mais la racine complexe est très simple.

 On t'écoute

 Non, vas-y, toi. le calcul se fait directement, sans papier, ni crayon.
 On prend f(x)==x^3+3x^2+3x+7
 On cherche g(x) courbe image en symétrie de point $(0,y), il suffit de changer le signe des puissances paires.
 On voit à l'oeil nu qu'une racine réelle est évidente.  On sais que la racine réelle d'une fonction est la racine complexe de la courbe "opposée".  Donc la racine complexe de f(x) est la racine réelle de g(x). 

 

 Une fois trouvé, il faut remplacer dans f(x) pour voir si cela concorde et si f(x)=0.

 Vas-y

 Ben non, vas-y, toi.
 Cela va déboucher sur un étonnement, et tu vas comprendre pourquoi i^x=-1 quelque soit x.

Et ta courbe f(x)=x^3+x, tu as fini par en trouver l'image en symétrie de point $?

 On t'écoute aussi pour les racines de x^3+x = x(x^2+1) = 0 avec ta "méthode".

 Toute courbe qui passe par y'Oy a forcément un point $ utilisable.  Si tu prends f(x)=x^3+x, tu vas, par rotation de 180° sur le point $(0,0), retrouver ta courbe g(x).
 Or, ici, c'est manifeste, g(x)=f(x).
 C'est à dire que la racine réelle de g(x) est la même que la racine complexe de f(x), et réciproquement, mais mieux, dans ce cas, la racine complexe de f(x) est la même que sa racine réelle (et réciproquement).
 Racine réelle de f(x)=0
 Racine réelle de g(x)=0
 Racine complexe f(x)=0i
 Racine complexe de g(x)=0i
  R.H.