Re: La courbe du jour

Le 28/03/2025 à 16:29, Richard Hachel a écrit :

Le 28/03/2025 à 16:08, Olivier Miakinen a écrit :

Le 28/03/2025 13:31, Richard Hachel a écrit :

 Soit la fonction f(x)=x⁴-2x²+8
 [...]
 Troisième question (6 points) :
3. Donner *les deux* racines complexes de f(x).

 Moins 6 points pour l'auteur de l'énoncé. Dans le corps des complexes,
un polynôme de degré *quatre* a forcément *quatre* racines en comptant
la multiplicité.

 Ici, nous avons un polynôme de degré quatre, mais qui ne comporte que deux monômes et une unité.
 Plus précisément, ici, il n'y a que deux racines, dont aucune n'est réelle.
 Le reste, c'est de nouveau du purpipo des mathématiciens qui, sur le coup, disent encore n'importe quoi.
 Mais il va de soi, que je n'empêche pas que l'on me contredise.
 On peut toujours essayer.  R.H.

Define '⋅'
⟨0,1⟩⋅⟨0,1⟩ = ⟨-1,0⟩
⟨1,0⟩⋅⟨0,1⟩ = ⟨0,1⟩
⟨0,1⟩⋅⟨1,0⟩ = ⟨0,1⟩
⟨1,0⟩⋅⟨1,0⟩ = ⟨1,0⟩

 

f(⟨x,y⟩) = ⟨x,y⟩⁴-2⟨x,y⟩²+8⟨1,0⟩

 

It follows that
f(⟨x,y⟩) = ⟨0,0⟩  ⇔
⟨x,y⟩ ∈ {⟨a,b⟩,⟨-a,b⟩,⟨a,-b⟩,⟨-a,-b⟩}

 

f(⟨x,y⟩) = ⟨x-a,y-b⟩⋅⟨x+a,y-b⟩⋅⟨x-a,y+b⟩⋅⟨x+a,y+b⟩

 

a = 2³ᐟ⁴cos(½tan⁻¹(√7))
b = 2³ᐟ⁴sin(½tan⁻¹(√7))

 This is indeed what mathematicians say, but it's neither true nor beautiful.
 In good mathematical logic, there are only two roots, both of the complex root type.
 Let x'=2i and x"=-2i.
 The way mathematicians deal with all this is as ridiculous as it is shameful.
 Almost criminal.
 R.H.

Pourtant les deux racines sautent aux yeux, mais ils ne peuvent s'empêcher de chercher des cornes de lapin à la con.  Toute cette folie humaine est désespérante.
R.H.