Racines réelles ou imaginaires

Je disais récemment, qu'il me paraissait très étonnant, que l'on puisse trouver des racines de type complexes (genre x'=-2+9i ou x"=5-2i). Chez moi, cela n'existe pas.
Il semblerait que ce soit une construction mathématique abstraite et inutile, et qui ne sert qu'à embrouiller l'esprit des jeunes étudiants pour pas grand chose, bref une énorme perte de temps et d'énergie. Je ne parle pas des repère de Gauss-Argand, qui sont "autre chose". Je parle des racines de toutes les fonction cartésiennes sur un plan xOy. Il est très simple, pour ce qui me lisent, de me croire lorsque je leur dis que les racines réelles d'une équation de type x²-5x+4 sont de PURS REELS. Et ils posent x'=1 et x"=4 en pensant probablement que je suis le plus grand mathématicien du monde, et qu'il me faut donner la médaille Fields.
Mais cette médaille, ils me la contestent si je leur dis que, de même façon, lorsqu'il y a des racines imaginaires, il ne faut pas parler de racines complexes, mais de racines imaginaires pures, et que les notations comme précisées plus haut sont aussi ridicules qu'inutiles.
Prenons cette fois, f(x)=x²+4, les deux racines sont imaginaires, et pas "complexes", terme bien mal employé. Nous avons ici, comme ce devrait toujours être le cas, une réponse notée en imaginaire pur.
x'=2i et x=-2i. Points que l'on place comme A(-2,0) et B(2,0) de gauche à droite. Puisque l'axe iOi' se trace de droite à gauche.
Merci de votre écoute. R.H.