Re: Développement en série

Le 11/04/2025 à 17:27, ast a écrit :
Un commentaire basique, c'est qu'une série de ce genre a un disque de convergence dans le plan complexe, en général le bord du disque est limité par une singularité comme ça se passe dans ton exemple. Cependant développant la même fonction autour d'un autre point du disque on obtient un autre disque de convergence qui intersecte le précédent mais va au delà. De proche en proche on peut donc former ce qui s'appelle le prolongement analytique de la série de départ.  Dans le cas de 1/(1-x) on a un prolongement partout donné par justement
1/(1-x).  Cependant si tu regardes 1/sqrt(1-x) tu vois qu'il y a un problème. En fait
on peut prolonger le long d'une courbe du plan complexe ne passant pas par une singularité mais il est bien possible que le prolongement ne soit pas le même selon
la courbe que l'on a prise, passant d'un coté ou de l'autre de la singularité x=1.
En poussant ce genre de réflexion, on arrive à la notion de surface de Riemann d'une fonction algébrique.  Pour celui qui connaît c'est la même construction que celle du revêtement universel d'un espace, classes de courbes homotopes , mais en y rajoutant le prolongement analytique le long des courbes et la possibilité d'avoir
un revêtement branché. Voir le chapitre sur le sujet dans Springer Introduction to Riemann surfaces.

Voilà je n'ai pas vraiment de question, mais quelqu'un a peut-être une commentaire à faire.

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Michel Talon