Re: Somme et produits de nombres complexes

Le 13/04/2025 à 14:33, Julien Arlandis a écrit :

Le 13/04/2025 à 14:01, efji a écrit :

Le 13/04/2025 à 13:20, Julien Arlandis a écrit :

Bonjour,
 Vu sur un groupe Facebook, on cherche deux nombres A et B tels que le produit et la somme soient égaux à des nombres premiers, l'ensemble n'était pas précisé...
  Si on se place dans le corps des complexes, on peut facilement construire A et B en partant de deux nombres p et q premiers tels que :
A = p/2 + sqrt((p/2)^2 - q) et B = p/2 - sqrt((p/2)^2 - q)
On aura toujours A + B = p et A * B = q
 Par exemple pour p = 97 et q = 463 on a :
 A = 48.5 + √1889.25 ≈ 91.965
B = 48.5 - √1889.25 ≈ 5.035
A + B = 97
A * B = 463
 Existe t-il d'autres façons de construire A et B et si non, comment démontrer que la construction proposée est la seule possible ?

 Je ne vois pas bien l'intérêt de se poser cette question puisque la solution que vous donnez est triviale et son unicité est évidente aussi :
 B = q/A (car A ne peut pas être nul)
et donc
A+q/A = p
qui est équivalente (toujours car A est non nul) à
A^2-pA+a=0
qui admet les 2 solutions que vous donnez. Le niveau baisse...
:)

 Oui c'est trivial, je m'en suis rendu compte juste après avoir posté.

Je complique donc l'énoncé.
On cherche l'ensemble des complexes A, B et C tels que :
A+B+C et A*B*C sont des nombres premiers.