Re: Somme et produits de nombres complexes

Le 13/04/2025 à 18:12, Julien Arlandis a écrit :

Le 13/04/2025 à 14:33, Julien Arlandis a écrit :

Le 13/04/2025 à 14:01, efji a écrit :

Le 13/04/2025 à 13:20, Julien Arlandis a écrit :

Bonjour,
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Vu sur un groupe Facebook, on cherche deux nombres A et B tels que le produit et la somme soient égaux à des nombres premiers, l'ensemble n'était pas précisé...
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Si on se place dans le corps des complexes, on peut facilement construire A et B en partant de deux nombres p et q premiers tels que :
A = p/2 + sqrt((p/2)^2 - q) et B = p/2 - sqrt((p/2)^2 - q)
On aura toujours A + B = p et A * B = q
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Par exemple pour p = 97 et q = 463 on a :
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A = 48.5 + √1889.25 ≈ 91.965
B = 48.5 - √1889.25 ≈ 5.035
A + B = 97
A * B = 463
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Existe t-il d'autres façons de construire A et B et si non, comment démontrer que la construction proposée est la seule possible ?

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Je ne vois pas bien l'intérêt de se poser cette question puisque la solution que vous donnez est triviale et son unicité est évidente aussi :
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B = q/A (car A ne peut pas être nul)
et donc
A+q/A = p
qui est équivalente (toujours car A est non nul) à
A^2-pA+a=0
qui admet les 2 solutions que vous donnez. Le niveau baisse...
:)

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Oui c'est trivial, je m'en suis rendu compte juste après avoir posté.

 Je complique donc l'énoncé.
 On cherche l'ensemble des complexes A, B et C tels que :
A+B+C et A*B*C sont des nombres premiers.

Ca ne complique pas grand chose. Pour p et q deux nombres premiers donnés on va avoir une infinité de solutions A,B,C. C = q/AB et ensuite on a une relation entre A et B : pour B donné on a
BA^2 + AB(B-p) + q = 0
Si on trace A en fonction de B on va obtenir une sorte d'hyperbole. Pas tellement plus intéressant que le premier problème...
--
F.J.