Re: Somme et produits de nombres complexes

Le 14/04/2025 à 12:52, Michel Talon a écrit :

Le 14/04/2025 à 12:06, Julien Arlandis a écrit :

Le 14/04/2025 à 12:00, Olivier Miakinen a écrit :

Le 13/04/2025 à 13:20, Julien Arlandis a écrit :

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Vu sur un groupe Facebook, on cherche deux nombres A et B tels que le produit et la somme soient égaux à des nombres premiers, l'ensemble n'était pas précisé...

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On a vu qu'avec des réels quelconques ce n'est pas très intéressant.
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Qu'en est-il si on doit choisir A et B parmi les entiers de Gauss ?

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Je me suis posé la question, existe t-il d'autres solutions que la solution triviale 1±i ?

 Il me semble que le problème posé suppose des solutions en nombres entiers.
Qui parle de complexes dans ce problème?  Il faut donc en premier p^2-4*q >0
pour avoir des solutions réelles.  Il faut ensuite p^2-4*q=r^2 avec r entier. mais alors (p-r)*(p+r)=4*q. comme q est premier p+r=k*q ou p- r=k*q avec k entier.
Dans le premier cas on a donc forcément  k*(p-r)=4, donc k= 1,2,4 puisque p-r
est entier. Si par exemple k=2, p-r=2,p+r=2*q donc p=q+1 et p2-4*q=(q-1)^2 ce qui est bon. Alors A=[p+(q-1)]/2 =q et B= [p- (q-1)]/2=1  ce qui est bien une solution entière. Il faut examiner tous les autres cas. Je suppose que c'était ça le sens de la question.
 

Que de complications :)
AB premier avec A et B entiers n'a pas de solution sauf si A ou B vaut 1. Mais alors, si A=1, B doit être premier, et donc B+1 ne peut pas être premier, sauf si B=2. Donc la seule solution entière est A=1, B=2.
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F.J.