Projection cartésiennes de racines imaginaires

Dans cette réflexion, nous explorons une méthode rigoureuse et alternative pour déterminer les racines imaginaires pures d’une fonction polynomiale, sans recourir au plan complexe. Cette approche repose uniquement sur des considérations cartésiennes et fonctionnelles.
1. Principe fondamental
Soit une fonction réelle f(x). Plutôt que de chercher ses racines imaginaires par la voie classique (discriminant négatif et introduction de i, on adopte une transformation géométrique : une symétrie de point autour de $(0, y₀), où y₀=f(0).
On définit alors une fonction symétrique g(x) selon la formule :
g(x)=-f(-x)+2y₀
Cette fonction est l’image réfléchie de la fonction, inversée horizontalement et verticalement, puis recentrée sur y = y₀. Elle présente alors des racines réelles, qu’on peut déterminer analytiquement.
2. Transformation des racines
Les racines réelles de g(x) sont ensuite converties en racines imaginaires pures de la fonction f(x), selon la transformation suivante : x=-i
Ainsi, chaque racine réelle x de g(x) donne naissance à une racine imaginaire pure de f(x).
Dans le repère cartésien x'Ox, ces racines sont projetées comme des points réels inversés : par convention, une racine imaginaire x = ai se place en (-a, 0), et une autre x = -ai en (a, 0).
3. Exemple illustratif
Considérons la fonction : f(x) = x^2 - 6x + 5
Elle admet deux racines réelles classiques : x = 1  et x = 5.
Calculons sa fonction symétrique autour de $(0,y₀) :
g(x) = -(x^2 + 6x + 5) + 10 = -x^2 - 6x + 5
Les racines réelles de g(x) sont :
x = -3 ± sqrt{14} et on en déduit les racines imaginaires pures de f(x) :
x' = i(3 + √{14}) x" = i(3 - √{14})
4. Conclusion
Cette méthode propose un cadre purement cartésien pour traiter les racines imaginaires, sans introduire le plan complexe. Elle repose sur une interprétation fonctionnelle et géométrique cohérente, où les imaginaires ne sont pas des entités abstraites, mais les résultats de symétries internes. Elle ouvre ainsi une voie nouvelle et intuitive dans l’étude des équations réelles élargies.
R.H.