Re: limite à calculer

Le 09/01/2025 à 18:11, MAIxxxx a écrit :

Quelqu'un connaît-il une démonstration (simple?) de la valeur de la limite
suivante (en français..):
limite quand n tend vers l'infini de (1/n!) * somme de 0 à n de
(t^n)*exponentielle(-t) dt.
 J'ai cru comprendre que ça vaut 1/2 cette question  avait été posée lors d'un
oral à Gnouf vers les années 60. J'ai vu un jour la démonstration dans un
bouquin mais j'ai oublié le raisonnement.

Je reviens sur cette vieille question car je suis tombé par hasard sur la démonstration limpide et simplissime. J'avais essayé des choses compliquées en coupant les epsilons en 4 ou en cherchant (mal) une récurrence, d'autres avaient donné une démonstration très compliquée utilisant le théorème du col, alors qu'en fait ça s'écrit en 3 lignes :
pour a>0, posons
f(a) = \int_0^{+\infty}  e^{-ax}dx = [-e^{-ax}/a]_0^{+\infty} = 1/a
cette fonction est infiniment dérivable (règle de Leibniz) et sa dérivée n-ieme vaut
f^{(n)}(a) = \int_0^{+\infty} (-x)^n e^{-ax}dx = (-1)^n (n!)/(a^{n+1})
En prenant a=1 on retrouve la formule demandée.
--
F.J.