Re: Un petit problème de math

Le 25/04/2025 à 18:50, Olivier Miakinen a écrit :

Bonjour,
 Le 24/04/2025 à 22:40, efji a écrit :

Une fois n'est pas coutume, un petit problème pour vous détendre, dont
la résolution ne nécessite aucune connaissance particulière supérieure
au programme de seconde. Mais un peu d'astuce quand même :)
>
Soit f(x) = ax^2+bx+c une fonction quadratique avec a,b,c réels, qui
n'admet aucune racine réelle. Montrez que
a(2a+3b+6c) > 0

 Ça a l'air intéressant. Je réfléchis au fur et à mesure de la
rédaction de cette réponse.
 Tout d'abord, puisque la fonction est quadratique, cela veut dire
que a n'est pas égal à zéro. On peut alors tout diviser par a pour

Oui, car si a=0, f(x) a une racine réelle (si b est non nul).

obtenir une autre fonction quadratique qui n'a pas non plus de
racine réelle : g(x) = x^2 + (b/a)x + (c/a), et on veut alors
montrer que a^2(2 + 3(b/a) + 6(c/a)) > 0, c'est-à-dire, puisque
a^2 > 0, que 2 + 3(b/a) + 6(c/a) > 0
 Puisque g(x) tend vers plus l'infini lorsque x tend vers l'infini,
l'énoncé peut être reformulé ainsi :
Soit g(x) = x^2 + (b/a)x + (c/a) une fonction quadratique avec
a,b,c réels telle que g(x) > 0 pour tout x. Montrez que
2 + 3(b/a) + 6(c/a) > 0.

Oui j'aurais pu écrire directement x^2+px+q=0 n'a pas de racine réelle et demander de montrer 2+3p+6q>0
Le "a" en facteur n'est là que pour dire de façon synthétique que pour a<0 on doit montrer 2a+3b+6c<0.

 Soient u et v les deux racines (non réelles) de la fonction g, qui
d'ailleurs sont aussi celles de la fonction f. J'appelle s=u+v leur
somme et p=uv leur produit.
On a g(x) = x^2 + (b/a)x + (c/a) = (x-u)(x-v) = x^2 - sx + p, et on
veut montrer que si g(x) est toujours > 0 alors 2-3s+6p > 0
 Première remarque, g(0) = p, donc p > 0. Ça veut dire que si s <= 2/3
la propriété cherchée est immédiatement vérifiée.
 Il reste donc à prouver la chose suivante :
  Soit g(x) = x^2 - sx + p  avec p > 0 et s > 2/3
  Montrer que si g(x) est toujours strictement positive
  alors 2-3s+6p > 0
 Mais au fait on peut connaitre le minimum de la fonction g. Il est
atteint en x = s/2 et vaut g(s/2) = -s^2/4 + p
 Il reste donc à prouver la chose suivante.
  Soit s un réel positif > 2/3 et p un réel positif > s^2/4
  Montrer que 6p+2 > 3s
 De s > 2/3 et p > s(s/4), on a p > (2/3)(s/4) = s/6
Donc 6p > s, mais ça ne suffit pas encore pour conclure.
 Je m'arrête ici pour le moment, mais efji est-ce que tu es déjà
d'accord avec moi jusque là ?

Oui  mais c'est un peu compliqué. Il y a une solution très simple et non calculatoire. Il faut utiliser une autre fonction g(x), mais qui n'est pas la fameuse "fonction miroir" de l'autre :) C'est ça qui m'a incité à poster ce problème ici.
Je vous laisse réfléchir encore.
--
F.J.