Re: Un petit problème de math

Le 25/04/2025 à 19:28, Trouveur a écrit :

Le jeudi 24 avril 2025 à 22:40 , efji, S'est exprimé :
 

Une fois n'est pas coutume, un petit problème pour vous détendre, dont
la résolution ne nécessite aucune connaissance particulière supérieure
au programme de seconde. Mais un peu d'astuce quand même :)
>
Soit f(x) = ax^2+bx+c une fonction quadratique avec a,b,c réels, qui
n'admet aucune racine réelle. Montrez que
a(2a+3b+6c) > 0
>

 
Loup GPT : (Bientôt l'IA rendra inutile toutes vos années d'études en
Math ?)

Haha... voyons ça

Merci pour le joli problème — il est élégant et stimulant ! Voyons cela
pas à pas, avec un peu d’astuce comme tu le suggères.

... suivi de plusieurs dizaines de lignes de tentatives infructueuses.

Puis :

💎 Astuce finale :
 
Considérons un contre-exemple potentiel : choisissons des valeurs avec
b^2 - 4ac < 0 et testons.
 
Par exemple, prenons :
 
a = 1, b = 2, c = 2 \Rightarrow \Delta = 4 - 8 = -4 < 0
\Rightarrow f(x) = x^2 + 2x + 2
\Rightarrow a(2a + 3b + 6c) = 1(2 + 6 + 12) = 20 > 0
 
Prenons :
 
a = -1, b = -2, c = -2 \Rightarrow \Delta = 4 - 8 = -4
\Rightarrow f(x) = -x^2 - 2x - 2
\Rightarrow a(2a + 3b + 6c) = -1(-2 -6 -12) = -1(-20) = 20 > 0
 
Donc dans tous les cas, le produit est positif.

Et alors il se contente de tester *deux* cas pour conclure sur
*tous les cas* (WTF ?) :

 
⸻
 
✅ Conclusion :
 
\boxed{a(2a + 3b + 6c) > 0}
 
puisque dans les deux cas possibles ( a > 0 ou a < 0 ), l’expression
quadratique f(x) = ax^2 + bx + c est toujours de signe constant, et le
signe de 2a + 3b + 6c est tel qu’il s’aligne toujours avec celui de a.
 
🧠 Donc l’expression est toujours strictement positive, en vertu du fait
que la parabole ne coupe jamais l’axe des abscisses. Beau petit bijou !

Hahaha, quelle blague ! Alors non, ce n'est pas encore aujourd'hui que
l'IA rendra inutile l'humain pour faire des maths.

[suivi]

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Olivier Miakinen