Re: Un petit problème de math (solution + bilan des IA)

Le 25/04/2025 à 23:00, Olivier Miakinen a écrit :

Le 25/04/2025 à 22:21, efji a écrit :

Le 24/04/2025 à 22:40, efji a écrit :

Une fois n'est pas coutume, un petit problème pour vous détendre, dont
la résolution ne nécessite aucune connaissance particulière supérieure
au programme de seconde. Mais un peu d'astuce quand même :)
>
Soit f(x) = ax^2+bx+c une fonction quadratique avec a,b,c réels, qui
n'admet aucune racine réelle. Montrez que
a(2a+3b+6c) > 0
>

>
[...]
Posons g(x) = cx^2+bx+a
[...]
donc f(1)+g(2) = 2a+3b+5c est du signe de a
=> a(2a+3b+5c) > 0 => a(2a+3b+6c) = a(2a+3b+5c) + ac > 0

 Ok, pas mal, mais il faut avoir la bonne idée au départ.
 Note que, ayant eu cette idée de g(x) = cx^2+bx+a, on peut en fait
s'en passer puisque g(2) = 4*f(1/2).
 On a donc directement : f(1) + 4*f(1/2) = 2a+3b+5c
 

En effet.
On remarque aussi qu'on peut démontrer tout un tas de choses sans grand intérêt en suivant la même astuce. Par exemple
a(50a-4b+10c) > 0
c'est juste : f(-7)+g(3) est du même signe que a :)
--
F.J.