Re: Racines multiples

Le 11/05/2025 à 21:26, efji a écrit :

Le 11/05/2025 à 20:08, Julien Arlandis a écrit :

Le 10/05/2025 à 17:16, Python a écrit :
 

si a = b (peut importe leur nature) alors f(a) = f(b)
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Comment n'arrives-tu pas à voir que sans cette implication AUCUNE suite de calculs ne peut être logiquement fondée ? C'est tout bonnement hallucinant.

 Je n'ai pas lu la discussion mais j'interviens juste sur ce point qui m'a toujours interpelé lorsque l'on considère les nombres complexes sous forme polaire.
 Soit f(x) = x^(1/2)
a = exp(2iπ) et b = exp(4iπ)
si a = b, peut on affirmer que f(a) = f(b) ?

 La racine carrée n'est pas une fonction univoque. Dans \R on dit par convention que le signe radical désigne la racine positive d'un nombre réel positif. Dans \C c'est la même chose : il y a deux racines carrées d'un nombre complexe, de signes opposés, mais la "détermination principale" n'est pas aussi évidente que dans \R.
 Dans ton exemple, les racines carrées de a sont ±exp(iπ) et celles de b sont ±exp(2iπ), et, oh miracle, ce sont les mêmes :)

De ce que j’avais compris, la racine carrée de exp(2ikπ) dépend de la parité de k, ce qui se conçoit dans une représentation du plan complexe en feuillets de Riemann.
exp(2ikπ)^(1/2) = exp(2ikπ × 1/2) = exp(ikπ) = {+1 si k pair, -1 si impair}.
Sinon comment justifier la double valeur de la racine carrée pour des valeurs particulières de k, dans mon exemple 4 et 2 ?
Alors je reformule ma question avec f(x) = x^(1/3). Que valent dans ce cas f(a) et f(b) ?