Re: Racines multiples

Le 14/05/2025 à 15:04, Julien Arlandis a écrit :

a solution apportée par Riemann permettait de s'en affranchir. Si deux nombres sont sur des feuillets différents c'est qu'ils ne sont pas tout à fait égaux non ?

C'est exactement ça, la "fonction" sqrt(x) est "multivaluée" sur C mais "univaluée" sur la "surface de Riemann" de sqrt(x) qui est un revêtement à 2 feuillets de C, avec 2 points de branchement en 0 et infini (points qui ont juste 1 préimage). En terme simple savoir sur quel feuillet on est fixe le signe de sqrt(x), et on a donc une vraie fonction de la surface de Riemann vers C.  Ca se généralise à toutes les fonctions algébriques qui sont les solutions de P(y,x)=0 où P est un polynôme en x et y, de degré n en y. On a alors n solutions y=y(x) et un revêtement de C à n feuillets. Les points de branchement sont les valeurs de x où on a des racines multiples (donc où le discriminant s' annule). La théorie de Riemann traite de ce cas général. Il a trouvé des propriétés remarquables qui n'ont pas été  réellement dépassées jusqu'à maintenant. Les références classiques sur ce sujet sont du plus simple au plus compliqué:
Introduction to Riemann surfaces  Springer
Tata lectures on theta  Mumford   , vol 1 zt 2
Theta functions on Riemann surfaces J.D. Fay
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Michel Talon