Re: Racines multiples

Le 16/05/2025 à 12:01, Julien Arlandis a écrit :

Le 15/05/2025 à 15:25, Python a écrit :

Le 15/05/2025 à 08:22, Julien Arlandis a écrit :

Le 14/05/2025 à 23:04, Python a écrit :

Le 14/05/2025 à 15:04, Julien Arlandis a écrit :

Le 14/05/2025 à 13:03, Python a écrit :

Le 14/05/2025 à 12:57, Julien Arlandis a écrit :
...

Dans ce que j'ai compris de la représentation des complexes en feuillets de Riemann, exp(2iπ) et exp(4iπ) seraient deux nombres distincts

 Mais non !!!! D'où t'as sorti une absurdité pareille !!! 2i*pi et 4i*pi sont distincts, ce qui explique que le log est multivalué pour une valeur *unique* de z = exp(2i*pi) = exp(4i*pi) !!!
 

qui vivent sur deux feuillets distincts. Je trouve cette interprétation séduisante dans la mesure où ça permet de généraliser (a^x)^y = a^(x*y) aux complexes et de n'avoir qu'un seul résultat possible par opération, ce qui me parait raisonnable.  Dans ce cas exp(2iπ)^(1/2) = exp(iπ) = -1 et exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) = +1.
 Vrai, faux ?

 Faux. -1 et 1 sont *toutes deux* des valeurs sur des branches différentes de la fonction multivaluée sqrt pour la valeur unique exp(2iπ) = exp(4iπ).
 C'est l'image de ce type de "fonction" qui est multivaluée PAS l'antécédent.

 Il y a quelques années sur ce groupe, on avait justement évoqué le problème des fonctions multivaluées, et j'avais compris - peut être à tort - que la solution apportée par Riemann permettait de s'en affranchir. Si deux nombres sont sur des feuillets différents c'est qu'ils ne sont pas tout à fait égaux non ?

 Euh non. Pas du tout. Même dans R on peut arriver à décrire des fonctions multivaluées, ça ne rend pas différents des valeurs identiques.
 Prend l'inverse de f(x) = x^2. Pour chaque valeur y tu obtiens une branche qui est sqrt(y) et une autre -sqrt(y) et qui se recollent en x=0.  Tu peux faire pareil avec f(x) = sin(x), tu obtiendras une infinité de branches pour la fonction inverse, ça ne rend pas différent des valeurs identiques.
 Tu devrais vraiment tout reprendre à zéro à partir des définitions.

 Je dis pas qu’il ne faut pas de fonctions multivaluées,

 Je n'ai pas affirmé que tu disais ainsi.
 

je trouve juste curieux que l’opérateur de puissance soit multivalué en fonction de la nature de l’exposant.

 Ce n'est pas le cas. z^a a une valeur unique.

 Je comprends plus rien.
 C'est quoi le résultat unique de exp(2iπ)^(1/2) ? Efji dit qu'il y en a deux : -1 et +1. Je parle pas du résultat de la branche principale qui relève de l'arbitraire pur.

J'ai répondu trop vite, effectivement il y a deux valeurs, la fonction z->z^(1/2) est bi-valuée.
De fait tout vient de la multi-valuation du logarithme, c'est seulement si l'exposant est un entier relatif n que z^n n'exprime qu'une seule valeur car z^n = exp(i*n*arg(z)+2*i*pi*n*k) = exp(i*n*arg(z)) qui ne dépend pas de k.