Re: Racines multiples

Le 16/05/2025 à 13:28, Python a écrit :

Le 16/05/2025 à 12:01, Julien Arlandis a écrit :

Le 15/05/2025 à 15:25, Python a écrit :

Le 15/05/2025 à 08:22, Julien Arlandis a écrit :

Le 14/05/2025 à 23:04, Python a écrit :

Le 14/05/2025 à 15:04, Julien Arlandis a écrit :

Le 14/05/2025 à 13:03, Python a écrit :

Le 14/05/2025 à 12:57, Julien Arlandis a écrit :
...

Dans ce que j'ai compris de la représentation des complexes en feuillets de Riemann, exp(2iπ) et exp(4iπ) seraient deux nombres distincts

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Mais non !!!! D'où t'as sorti une absurdité pareille !!! 2i*pi et 4i*pi sont distincts, ce qui explique que le log est multivalué pour une valeur *unique* de z = exp(2i*pi) = exp(4i*pi) !!!
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qui vivent sur deux feuillets distincts. Je trouve cette interprétation séduisante dans la mesure où ça permet de généraliser (a^x)^y = a^(x*y) aux complexes et de n'avoir qu'un seul résultat possible par opération, ce qui me parait raisonnable.
Dans ce cas exp(2iπ)^(1/2) = exp(iπ) = -1 et exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) = +1.
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Vrai, faux ?

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Faux. -1 et 1 sont *toutes deux* des valeurs sur des branches différentes de la fonction multivaluée sqrt pour la valeur unique exp(2iπ) = exp(4iπ).
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C'est l'image de ce type de "fonction" qui est multivaluée PAS l'antécédent.

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Il y a quelques années sur ce groupe, on avait justement évoqué le problème des fonctions multivaluées, et j'avais compris - peut être à tort - que la solution apportée par Riemann permettait de s'en affranchir. Si deux nombres sont sur des feuillets différents c'est qu'ils ne sont pas tout à fait égaux non ?

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Euh non. Pas du tout. Même dans R on peut arriver à décrire des fonctions multivaluées, ça ne rend pas différents des valeurs identiques.
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Prend l'inverse de f(x) = x^2. Pour chaque valeur y tu obtiens une branche qui est sqrt(y) et une autre -sqrt(y) et qui se recollent en x=0.
Tu peux faire pareil avec f(x) = sin(x), tu obtiendras une infinité de branches pour la fonction inverse, ça ne rend pas différent des valeurs identiques.
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Tu devrais vraiment tout reprendre à zéro à partir des définitions.

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Je dis pas qu’il ne faut pas de fonctions multivaluées,

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Je n'ai pas affirmé que tu disais ainsi.
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je trouve juste curieux que l’opérateur de puissance soit multivalué en fonction de la nature de l’exposant.

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Ce n'est pas le cas. z^a a une valeur unique.

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Je comprends plus rien.
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C'est quoi le résultat unique de exp(2iπ)^(1/2) ? Efji dit qu'il y en a deux : -1 et +1. Je parle pas du résultat de la branche principale qui relève de l'arbitraire pur.

 J'ai répondu trop vite, effectivement il y a deux valeurs, la fonction z->z^(1/2) est bi-valuée.
 De fait tout vient de la multi-valuation du logarithme, c'est seulement si l'exposant est un entier relatif n que z^n n'exprime qu'une seule valeur car z^n = exp(i*n*arg(z)+2*i*pi*n*k) = exp(i*n*arg(z)) qui ne dépend pas de k.

En fait c'est un peu délicat de répondre de façon générale à ça. Moi aussi j'ai répondu un peu vite il y a quelques minutes.
En pratique il n'arrive jamais de voir écrit "exp(2iπ)^(1/2)". Ce qui se passe c'est qu'on a une équation du style
z^2 = exp(2iπ), et alors on a 2 solutions.
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F.J.