Re: Racines multiples

Le 16/05/2025 à 13:32, Python a écrit :

Le 16/05/2025 à 13:17, efji a écrit :

Le 16/05/2025 à 13:17, Julien Arlandis a écrit :

Le 16/05/2025 à 13:12, efji a écrit :

Le 16/05/2025 à 12:01, Julien Arlandis a écrit :
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C'est quoi le résultat unique de exp(2iπ)^(1/2) ? Efji dit qu'il y en a deux : -1 et +1. Je parle pas du résultat de la branche principale qui relève de l'arbitraire pur.
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Je n'ai pas dit ça.
J'ai juste dit qu'il y avait deux racines de l'unité dans \C (qui sont réelles en l'occurrence) comme il y a n racine niemes de l'unité.
Ensuite, quand on a une expression écrite de cette façon dans un calcul, exp(2iπ)^(1/2), alors le résultat est simplement exp(iπ) = -1.

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Donc exp(2iπ)^(1/2) ≠ exp(4iπ)^(1/2) ?
Oui ou non ?

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oui

 Je dirais plutôt non. L'écrire est trompeuse parce qu'elle laisse penser que z->z^(1/2) est une fonction de Z dans Z, alors que c'est une fonction de Z dans P(Z)
 exp(2iπ) = exp(4iπ) = 1
 En ne perdant pas de vue la multivaluation de z->z^(1/2)
 exp(2iπ)^(1/2) = exp(4iπ)^(1/2) = 1^(1/2) = { -1, 1 }

Oui j'ai répondu un peu vite, et je t'ai répondu à l'instant sur un autre message.
En réalité on n'écrit jamais les choses de cette façon exp(2iπ)^(1/2), justement pour éviter toute ambiguïté. Il n'y a que dans \R, avec le signe radical qui a une signification claire (la racine positive) que l'on se permet de manipuler sans précaution la racine carrée.
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F.J.