Re: Racines multiples

Le 16/05/2025 à 13:47, Python a écrit :

Le 16/05/2025 à 13:41, Julien Arlandis a écrit :

Le 16/05/2025 à 13:32, Python a écrit :

Le 16/05/2025 à 13:17, efji a écrit :

Le 16/05/2025 à 13:17, Julien Arlandis a écrit :

Le 16/05/2025 à 13:12, efji a écrit :

Le 16/05/2025 à 12:01, Julien Arlandis a écrit :
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C'est quoi le résultat unique de exp(2iπ)^(1/2) ? Efji dit qu'il y en a deux : -1 et +1. Je parle pas du résultat de la branche principale qui relève de l'arbitraire pur.
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Je n'ai pas dit ça.
J'ai juste dit qu'il y avait deux racines de l'unité dans \C (qui sont réelles en l'occurrence) comme il y a n racine niemes de l'unité.
Ensuite, quand on a une expression écrite de cette façon dans un calcul, exp(2iπ)^(1/2), alors le résultat est simplement exp(iπ) = -1.

 Donc exp(2iπ)^(1/2) ≠ exp(4iπ)^(1/2) ?
Oui ou non ?

 oui

 Je dirais plutôt non. L'écrire est trompeuse parce qu'elle laisse penser que z->z^(1/2) est une fonction de Z dans Z, alors que c'est une fonction de Z dans P(Z)
 exp(2iπ) = exp(4iπ) = 1

 Pour moi ce sont pas les mêmes nombres, ils ont même module mais pas le même argument et comme cette quantité intervient dans les opérations sur les exposants, je vois mal comment on peut affirmer aussi catégoriquement que les deux nombres sont équivalents.

 Ce sont les *mêmes* nombre. L'argument est défini modulo 2*pi (c'est un peu normal pour un... angle)

L'argument ne me convainc pas car si tu développes e^x en série entière la notion d'angle disparait.

Je vois deux approches possibles :
1) on considère que exp(2iπ) = exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est bivaluée mais dans ce cas on renonce à la généralisation de (a^x)^y = a^(x*y).

 On n'y renonce pas : les valeurs (au pluriel) sont les mêmes des deux côtés, deux valeurs prises dans deux branches tout ce qu'il y a de plus identiques.

Si on y renonce pas, comment tu passes de exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) à la valeur -1 ?

2) on considère que exp(2iπ) ≠ exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est monovaluée et dans ce cas la on peut généraliser (a^x)^y = a^(x*y) à x et y complexes.

 Il est totalement impossible de considérer que exp(2iπ) ≠ exp(4iπ) ! Les deux expressions qualifient exactement la même classe d'équivalence dans C = R[X]/(X^2 + 1) à savoir celle du polynôme constant 1 !

Et pourtant ils n'occupent pas le même feuillet sur la surface de Riemann ?

En ne perdant pas de vue la multivaluation de z->z^(1/2)
 exp(2iπ)^(1/2) = exp(4iπ)^(1/2) = 1^(1/2) = { -1, 1 }

 C'est bizarre d'écrire ça, on peut construire aucune arithmétique avec un truc pareil non ?

 Qu'est-ce que tu appelles "arithmétique" dans ce contexte ?

Faire des calculs élémentaires.
C'est quoi le résultat de 1^(1/2) + 1^(1/2) par exemple ?