Re: Racines multiples

Le 16/05/2025 à 16:51, Python a écrit :

Le 16/05/2025 à 15:40, Julien Arlandis a écrit :

Le 16/05/2025 à 14:31, Python a écrit :

Le 16/05/2025 à 14:05, Julien Arlandis a écrit :
...

Je dirais plutôt non. L'écrire est trompeuse parce qu'elle laisse penser que z->z^(1/2) est une fonction de Z dans Z, alors que c'est une fonction de Z dans P(Z)
 exp(2iπ) = exp(4iπ) = 1

 Pour moi ce sont pas les mêmes nombres, ils ont même module mais pas le même argument et comme cette quantité intervient dans les opérations sur les exposants, je vois mal comment on peut affirmer aussi catégoriquement que les deux nombres sont équivalents.

 Ce sont les *mêmes* nombre. L'argument est défini modulo 2*pi (c'est un peu normal pour un... angle)

 L'argument ne me convainc pas car si tu développes e^x en série entière la notion d'angle disparait.

 Définie de toutes les façons que tu veux, y compris par une série entière, il reste que z->exp(z) est périodique de période 2pi.
 

Je vois deux approches possibles :
1) on considère que exp(2iπ) = exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est bivaluée mais dans ce cas on renonce à la généralisation de (a^x)^y = a^(x*y).

 On n'y renonce pas : les valeurs (au pluriel) sont les mêmes des deux côtés, deux valeurs prises dans deux branches tout ce qu'il y a de plus identiques.

 Si on y renonce pas, comment tu passes de exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) à la valeur -1 ?

 -1 \in {-1, 1}

 Je comprends pas comment tu peux obtenir la valeur -1 si tu valides cette généralisation : (a^x)^y = a^(x*y)
Est ce que tu es d'accord avec exp(4iπ)^(1/2) = exp(4iπ*1/2) = exp(2iπ) = 1 ?

 La série de vidéos qui suit celle que j'ai indiquée (en particulier https://www.youtube.com/watch?v=Lh6rHAiY9KE mais aussi les suivantes) éclaircit très bien le sujet.
 Si on reste en multivalué il n'y a pas de problème : z^(1/2) = exp(4iπ)^(1/2) = exp(4iπ*1/2) = {-1, 1}, il y a deux points (z, 1 + 0i ) et (z, -1 + 0i) sur la surface de Riemann de z->z^(1/2) et ce sont les mêmes quel que soit la façon dont tu exprimes z en polaire.  Si on tient à avoir une fonction monovaluée il faut faire un choix : se restreindre à une partie de l'ensemble d'arrivée (pour z->z^(1/2), Re(z) > 0 convient, mais on peut faire d'autres choix) ce qui va introduire un choix sur la phase modulo 2pi sur l'antécédent qui manifeste la coupure de branche (choix de [-pi, pi] dans le cas de Re(z) > 0, la coupure étant alors la demi-droite des réels négatifs, mais c'est la conséquence du choix initial). Avec ce choix la valeur -1 est exclue dans tous les cas pour le résultat de z->z^(1/2). La règle exp(i*theta*pi)^(1/2) = exp(i*theta*pi/2) reste valable à condition d'avoir pris theta dans l'intervalle correspondant au choix de la coupure.

Ce qui est bien montré là (et justement pour w = z^(1/2)) :
https://www.youtube.com/watch?v=6ecPpRUTieg
C'est un choix *d'écriture* qui est fait sur l'antécédent z, pas un choix de valeur. Et c'est équivalent, cependant, à un choix de *valeurs* sur w.
Ce qui est logique ici, la surface de Riemann de z->z^(1/2) recouvre *deux* fois C, elle a deux feuillets.
Avec le log c'est carrément à une infinité dénombrable de feuillets.