Re: Racines multiples

Le 17/05/2025 à 19:52, Michel Talon a écrit :

Le 17/05/2025 à 03:11, Julien Arlandis a écrit :

Considérons la fonction f_n(x) qui renvoie la nième décimale de x.
a = 1
b = 0.999...
On a bien a=b mais f_1(a)=0 et f_1(b)=9
 Alors certes tu vas me dire que les expresssions "1" et "0.999..." ne sont que des représentations du nombre 1 mais comment fais tu pour distinguer ici l’élément de sa représentation ?
Pour moi le nombre 1 en tant qu’élément abstrait n’existe que par sa représentation et de ce fait j’ai du mal à considérer que 0.999... = 1.

 D'où l'intérêt de la *définition* des nombres réels, une en particulier parle de classes d'équivalence de suites de Cauchy, l'équivalence étant définie par le fait que la différence des deux suites tend vers 0.  Par exemple 1.0000 et 0.9999
sont équivalentes, donc définissent le même nombre réel.  Voir par ex.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_r%C3%A9el
section: après 2200 ans la solution.
Note que beaucoup de définitions importantes reposent sur la notion d'espace quotient, ou ce qui revient au même de classes d'équivalence. Par exemple les rationnels sont les couples (p,q) tels que (p,q) ~ (p',q') quand pq'=p'q, on peut définir les complexes C comme les polynômes sur R à 1 variable modulo les
multiples de x^2+1, etc.

Tout à fait. Du coup on constate que pour certains réels (certains rationnels même en l'occurrence) il y a deux suites distinctes qui peuvent prétendre à exprimer la notion de ‘décimales de ...’ qui n'est donc pas univoque pour tout nombre réel.