Re: Racines multiples

Le 17/05/2025 à 19:52, Michel Talon a écrit :

Le 17/05/2025 à 03:11, Julien Arlandis a écrit :

Considérons la fonction f_n(x) qui renvoie la nième décimale de x.
a = 1
b = 0.999...
On a bien a=b mais f_1(a)=0 et f_1(b)=9
>
Alors certes tu vas me dire que les expresssions "1" et "0.999..." ne sont que des représentations du nombre 1 mais comment fais tu pour distinguer ici l’élément de sa représentation ?
Pour moi le nombre 1 en tant qu’élément abstrait n’existe que par sa représentation et de ce fait j’ai du mal à considérer que 0.999... = 1.

 D'où l'intérêt de la *définition* des nombres réels, une en particulier parle de classes d'équivalence de suites de Cauchy, l'équivalence étant définie par le fait que la différence des deux suites tend vers 0.  Par exemple 1.0000 et 0.9999
sont équivalentes, donc définissent le même nombre réel.  Voir par ex.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_r%C3%A9el
section: après 2200 ans la solution.
Note que beaucoup de définitions importantes reposent sur la notion d'espace quotient, ou ce qui revient au même de classes d'équivalence. Par exemple les rationnels sont les couples (p,q) tels que (p,q) ~ (p',q') quand pq'=p'q, on peut définir les complexes C comme les polynômes sur R à 1 variable modulo les
multiples de x^2+1, etc.

Tout à fait.
Et c'est pour cela que l'introduction au collège de "l'ensemble des décimaux" est un non-sens qui ne peut mener qu'à la confusion. Cet ensemble n'est pas muni de structure intéressante, et de doit pas être mélangé avec les autres \N, \Z, \Q, \R, \C etc.
D'ailleurs on n'en parle plus jamais dès après le lycée, donc à mon avis il devrait purement et simplement être oublié et on ne devrait jamais l'introduire.
A la limite, en l'heureux temps de "maths modernes" où on apprenait les bases de la théorie des ensembles en 6eme et la notion de groupe et d'espace vectoriel en 2nd, on apprenait aussi les bases très très tôt (à l'école primaire ou en 6eme, j'ai oublié), et il pouvait être intéressant de voir que la représentation "décimale" (en tant que nombre à virgule) pouvait être différente selon la base choisie. Par exemple 1/3 a une représentation finie en base 3, ou 1/10 a une infinité de "décimales" en base 2.
--
F.J.