Re: Racines multiples

Le 18/05/2025 à 10:04, Jacques Mathon a écrit :

Le 17/05/2025 à 03:11, Julien Arlandis a écrit :

...

si a = b (peut importe leur nature) alors f(a) = f(b)

>
Je reviens sur cette proposition qui paraît logique en première analyse mais difficile à justifier.

 Si tel n'est pas le cas alors, par définition, f n'est pas une fonction du moins en théorie des ensembles.
En effet : "En théorie des ensembles, une fonction ou application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier est en relation avec un unique élément du second[1]. Parfois, on distingue la notion de fonction en affaiblissant la condition comme suit : chaque élément du premier ensemble est en relation avec au plus un élément du second."
 https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_(math%C3%A9matiques)
 Amicalement

Je sais que certains ici maudissent les bourbakistes, mais pour quelqu'un qui a été
éduqué aux maths modernes, dont à mon avis l'abandon a été un désastre total, ils sont un point de référence absolu.  Donc voici ce que dit Dieudonné dans ses
Eléments d'analyse:
"
Ainsi que nous l’avions annoncé dans le chapitre I le lecteur ne
trouvera, dans ce chapitre, aucune allusion aux fonctions dites «à
valeurs multiples» ou fonctions «multiformes». 11 est naturellement
gênant de ne pas pouvoir définir, dans le corps C, une authentique
fonction continue √z qui vérifierait la relation (√z)^2 = z. Mais on
ne doit certainement pas chercher à résoudre cette difficulté par une
violation délibérée de la notion générale d'application, qui
consisterait à décréter soudainement qu'après tout il existe une telle
fonction qui possède pourtant la propriété inhabituelle d’avoir, pour
tout z ≠ 0, deux valeurs distinctes. Le châtiment de cette attitude
ridicule et indécente est immédiat : il est impossible d'utiliser les
opérations algébriques les plus élémentaires, de façon raisonnable ;
par exemple, la relation 2√z = √z + √z n'est certainement pas vraie,
car, si nous nous rapportons à la «définition» de √z, nous devons
attribuer , pour z ≠ 0 , deux valeurs distinctes au membre de gauche
et trois au membre de droite! Heureusement, il existe une solution à
cette difficulté qui n'a rien à voir avec un tel non-sens.
Elle a été découverte par Riemann, il y a plus de cent ans; elle
consiste à rétablir l’unicité de la valeur de √z . en «doublant», pour
ainsi dire, le domaine de la variable z, de façon que les deux valeurs
de √z correspondent à deux points, au lieu d'un seul : trait de génie
s’il en fut jamais, qui est à l’origine de grande théorie des surfaces
de Riemann, et de leur généralisation moderne, les variétés
analytiques complexes, que nous définirons au chapitre XVI.
L'étudiant qui désire connaître ces belles théories, en plein essor à
l'heure actuelle, pourra lire la présentation classique de H. Weyl
[19], et celle, moderne , de Springer, des surfaces de Riemann ainsi
que le séminaire de H. Cartan [7] et le livre récent de A. Weil [18]
sur les variétés complexes.
"
Je suppose qu'il parle du livre sur les variétés Kahleriennes de  André Weil,
le frère de la philosophe et figure dominante du groupe Bourbaki. Quand à la diatribe sur les fonctions multiformes je suppose qu'il vise le cours d'analyse de
Goursat, dont les bourbakistes disaient qu'on ne sait jamais d'où on part et où on arrive chez lui, mais qui néanmoins contient plein de choses intéressantes.  Il peut
être intéressant de savoir que ces concepts, Surfaces de Riemann, Variétés de Kahler, etc. sont centrales en théorie des cordes, le sujet de pointe de la physique théorique.
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Michel Talon