Re: Définitions mathématiques portant sur Log et sur e

Le 20/05/2025 à 13:51, Richard Hachel a écrit :

  J'appelle Log x, le logarithme naturel de x.
  Log 1 = 0
  Log e = 1
  Je note la fonction exponentielle fonction simple de x : f(x)=e^x

Il n'y a strictement aucune définition ci-dessus, ni de Log ni de l'exponentielle.

 Je constate que la rotation de 180° (π) de cette fonction me donne g(x) en miroir de points symétriques sur $(0, y₀) tel que g(x)=-e^(-x)+2 dont la racine est x'=i.Log2

Et alors ? x -> 2 - e^(-x) n'est pas la même fonction que x -> e^x

 Log e^x = x

Dans R oui. Pas nécessairement dans C où Log est multivaluée :
Log(exp(x))=x+2iπk

 e^Logx = x

Oui au sens où pour toutes les branches de Log on a un unique ensemble de valeur : {x} qu'on peut, sans grand risque, assimiler à x.

 e^a * e^x = e^(a+x)

Oui, dans R comme dans C tout entier.

 Log a + Log b = Log ab

Pour a,b dans R+* = ]0, +inf[, oui, En général dans C, non, sauf si le choix de branche pour le Log est tel que arg(a), arg(b) sont dans ]−π,π] et aussi que arg(a+b) est dans ]−π,π]

 Log a - Log b = Log (a/b)

Idem en substituant 1/b à b dans la règle ci-dessus.

 Application pratique :
  e^Log4 = 4

Voir e^Log(x) plus haut.

 1^Log4 = 1

Dans R oui. Dans C c'est la valeur principale. Il y en a une infinité :
e^(2*π*i*k*Log(4)) Pour k dans Z.

 i^Log4 = ? ? ?

exp(i*Log(4)*(π​/2+2πk))
Environ -0.57 + 0.82i pour la valeur principale.

 e^(i.Log4) = ? ? ?

Qu'on peut noter aussi 4^i : il y a une infinité de valeurs : exp(-2πk)*e^(i*Log(4))