Re: Racines multiples

Le 20/05/2025 à 12:57, Python a écrit :

 

4) en vertu de la règle 1 : exp(2iπ)^(1/2) = exp(iπ) = -1

 Non. C'est 1 ou -1 selon le choix de branche. Voir ci-dessus.
 

5) toujours en vertu de la même règle :
exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) = +1

 Même réponse que 4.

Si on définit sqrt(exp(2 i pi)) comme le prolongement analytique de exp(z) le long du cercle z=exp(i theta)  de theta =0 à theta =2 pi on a bien une réponse claire: -1.
Rappel, le long du cercle on a sqrt(z) = exp (i theta /2)  qui est parfaitement continue (et analytique)  pour 0 < theta  < 2 pi  et donc à la fin on a exp(i pi) = -1.
Cette façon de procéder est celle qui est à la base de la définition des surfaces de Riemann (*).
De la même façon si on continue à tourner sur le cercle trigonométrique de theta = 2 i pi jusqu'à 4 i pi le sqrt (z) prend encore un signe - et donc exp(4 i pi) = +1
Je pense que ces valeurs ne sont contestées par personne.
En ce qui concerne  la règle exp(x)^y = exp(xy) qui je le rappelle n'est vraie que sous des conditions restrictives sur x et y,  Dans le cas présent on n'a pas de problème car exp(4 i pi) = (exp (2 ipi))^2  où exp(2 i pi) est *réel* et 2 entier, la règle est valide, et  se réduit dans le cas d'espèce à (-1)^2=1 ce qui est vrai.  Je ne vois pas où on peut trouver une contradiction, sauf bien sûr si on s'amuse à vouloir appliquer la règle exp(x)^y = exp(xy) avec y = 1/2 ce qui est hors du cadre de validité.
(*)  Voir Springer Chap 3.  Pour être bref  on fait le prolongement analytique d'une fonction d'un point origine o à un point final x. On obtient donc un "élement" de fonction analytique dans un disque autour autour de x. On montre   que si on bouge un peu la courbe, l'élément est identique. On définit alors une équivalence entre deux prolongements si le point x est le même et l'élément (c'est à dire un développement en série) de fonction est identique dans un disque commun de convergence. Les classes d'équivalence sont les points de la surface de Riemann. On définit là dessus une structure de variété complexe. Ce qui est plus compliqué est de traiter le cas des points de branchement.
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Michel Talon