Re: Racines multiples

Le 21/05/2025 à 09:03, Julien Arlandis a écrit :

Cela permet de définir la fonction log dans P définie pour tout z dans P de façon univoque
comme P(z) = ln(ρ) + i.θ avec z = ρ.e^(i.θ).

Autrement dit ton P est la surface de Riemann du logarithme qui a une infinité de feuillets. Mais ce n'est pas un corps. Par contre il existe une structure sur laquelle existe une addition et qui est une variété analytique, c'est la jacobienne de la surface de Riemann.  Le petit problème est que c'est une surface de dimension complexe g quand la surface de Riemann est de genre g (une sphère avec g poignées). De ce fait il y a le cas particulier g=1 (c'est le cas de la surface de Riemann de sqrt(z(z-1)(z-2)) où on peut identifier la surface de Riemann   et sa Jacobienne. En fait ça se traduit par les formules d'addition des fonctions elliptiques. Le cas général, où la surface de Riemann est une courbe dans sa Jacobienne, les propriétés de cette courbe, etc. ce sont les travaux de Riemann.
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Michel Talon