Re: e^iθ

Le 30/05/2025 à 14:08, Richard Hachel a écrit :

Le 30/05/2025 à 14:03, Python a écrit :

Le 30/05/2025 à 13:23, Richard Hachel a écrit :

On peut vérifier facilement l'égalité e^iθ=cosθ+i.sinθ

 Comme déjà signalé, le parenthésage est incorrect, la partie gauche devrait être notée e^(iθ)
 

Prenons z1=4+2i et z2=5+i par exemple : Z=z1.z2=20+4i+10i+2i²
 Calculons Z = r1.e^iθ1 * r2.e^iθ2
 Soit si R=r1.r2 alors Z=R.(e^iθ1*e^iθ2)
 Soit encore puisque (a^n)(a^m)=a^(n+m) :
 Z=R.(e^i)^θ1*(e^i)^θ2
 et Z=R.(e^i)^(θ1+θ2)
 Il vient que le produit de deux complexes fait que la norme est le produit des normes,
et que l'argument est la somme des arguments.

 Certes ça vérifie cela, mais ça ne vérifie en rien e^(iθ)=cosθ+i.sinθ comme proclamé au début de ton post : à aucun moment de cette prétendue "vérification" ni cosθ, ni sinθ n'interviennent.  Si c'est ça que tu veux vérifier je t'ai fourni les séries entières pour exp, sin et cos, il suffit des les utiliser.

 Mais si, ça vérifie.

M'enfin... Ni sin, ni cos n'interviennent dans ta "vérification" !

Pour cela il faut reprendre les travaux de Moivre, d'Euler et surtout de Taylor. 

Tout à fait, mais tu ne le fais pas. Tu ne fais qu'appliquer les propriétés de toute fonction puissance et que ça "colle" avec les propriété géométriques attendues. Ça ne les prouve pas pour autant. Tu pourrais remplacer "e" par "2" (ou n'importe quelle nombre réel non nul, la même "vérification" fonctionne. Pour montrer que c'est bien e (2.7182818...) et pas un autre nombre il faut passer par les séries entières de exp, sin et cos.

Je donne juste un exemple numérique où l'on peut vérifier que Z=R.(e^i)^θ1*(e^i)^θ2

Rien d'un exemple numérique dans ton post (pour une fois ! c'est un progrès !) mais des manipulations algébriques.