Re: e^iθ

Le 30/05/2025 à 14:03, Richard Hachel a écrit :

Le 30/05/2025 à 13:36, efji a écrit :

Le 30/05/2025 à 13:23, Richard Hachel a écrit :

On peut vérifier facilement l'égalité e^iθ=cosθ+i.sinθ

 Non! e^iθ = θ(e^i) = θ(cos(1)+i.sin(1))
Tu vas un jour apprendre à écrire correctement les expressions mathématiques ou pas ?

  Mon but n'est pas d'apprendre comment transformer de façon parfaite le langage mathématique en langage visuel informatique.  Mais ce que j'écris reste néanmoins largement compréhensible.

Tu as tellement pris l'habitude d'absence de rigueur dans les notations que tu en arrives à prétendre qu'Euler aurait affirmé que i^i = e^[(Log i)^i], ce qui est complètement faux.
J'aurai bientôt sous les yeux l'ouvrage d'où tu prétends avoir tiré cette identité fausse. Je parie tout ce que tu veux que ce n'est pas ce qui est écrit dans l'ouvrage.

Prenons z1=4+2i et z2=5+i par exemple : Z=z1.z2=20+4i+10i+2i²
 Calculons Z = r1.e^iθ1 * r2.e^iθ2
 Soit si R=r1.r2 alors Z=R.(e^iθ1*e^iθ2)
 Soit encore puisque (a^n)(a^m)=a^(n+m) :
 Z=R.(e^i)^θ1*(e^i)^θ2
 et Z=R.(e^i)^(θ1+θ2)
 Il vient que le produit de deux complexes fait que la norme est le produit des normes,
et que l'argument est la somme des arguments.

 C'est chouette, tu redécouvres l'eau chaude connue de milliards de gens, et tu en es fier comme un bambin est fier de montrer sa crotte à sa maman :)
 Modulo les parenthèses c'est correct.

 

efji semble un peu lasser de répondre à tes sottises, je vais le faire pour les parties qui méritent une réponse :

pourquoi, c'est un exemple, utilises-tu le terme de nombre imaginaire pour i? Pourquoi utilises-tu le terme "racines complexes"?

Le terme "imaginaire" est un reliquat historique de l'époque où l'on a remarqué que manipuler dans des calculs intermédiaires des expressions comme sqrt(-15) menaient à des résultats (tout ce qu'il a de plus valides avec les nombres usuels, les "réels" comme on dit maintenant) corrects.
Complexe exprime le fait que dans le corps R[X]/(X^2+1) tout élément (i.e. touts classe d'équivalence de polynômes) contient un membre de degré minimal de la forme a + b*X où a et b sont réels. On peut les voir comme des composantes d'un vecteur, d'où le terme "complexe".
Dans ce contexte, rigoureux, "imaginaire [pur]" qualifie les classes d'équivalence qui contiennent un terme de la forme b*X.

 Ces termes sont-ils des termes concrets et cohérents?

Oui, comme expliqué plus haut.

 Pour Hachel : [snip, on s'en tape]

 Pourquoi leur donner la forme ridicule de Z=a+ib lorsqu'on n'en a pas besoin?

Ce n'est pas parce que tu ne comprends pas (et n'essaie pas) que c'est ridicule ou qu'on a pas besoin. Tu n'as aucun argument pour justifier tes affirmations.

 Si je dis que mes racines réelles sont 5 et -1, je n'ai pas à écrire (même en connaissant (-b/2a) que ces racines réelles sont 2+3 et 2-3.
  Alors pourquoi écrire, par exemple 2+3i et 2-3i?

Parce que ça n'a rien à voir. Tu traites ci-dessus i comme ayant la valeur -1, ce n'est pas le cas.

 Quel intérêt dans mon repère cartésien bidimensionnel?

Ce tu qualifies, de façon grotesque, ainsi est le plan dans lequel l'ensemble de départ d'une fonction est R et est représenté par l'axe des abscisses, tandis que l'ensemble d'arrivée (R aussi) par l'axe des ordonnées et la fonction elle même par les points de coordonnées (x,f(x)).
Seules les racines réelles d'une fonction peuvent apparaître sur un tel graphe. Il faut deux plans pour représenter une fonction de C dans C.

 Pourquoi utiliser une nouvelle perpendiculaire en trois D pour placer mes i, alors qu'une simple contre droite i'Oi sur x'Ox convient parfaitement, et que je peux pratiquer des rotations de 180° sans passer par d'autres plans accessoires? Visualisant directement mes racines imaginaires pures sur mon plan Ox(i)y.

Tu ne visualises aucune racine hors du domaine réel, tu visualises les racine d'une autre fonction dont les racines n'ont aucun rapport avec la fonction d'origine le tout selon une transformation qui change en fonction de l'âge du capitaine (un coup symétrie ponctuelle, une autre fois axiale).
Non seulement ça n'a aucun sens par rapport au sujet, mais c'est totalement incohérent et contradictoire (du fait des propriété que tu prête à "i"). Ça n'a aucun rapport avec les nombres complexes et imaginaires tels qu'ils sont définis et utilise. C'est du verbiage incohérent pour te dispenser d'utiliser ton cerveau (sans doute hors d'usage depuis longtemps de toute façon) et faire le bravache en prétendant en avoir dans le pantalon (idem).