Re: Equation de degré quatre

Le 07/06/2025 à 12:30, Jean-Mimi a écrit :

Le 07/06/2025 à 12:19, Richard Hachel a écrit :

On donne f(x)=x⁴+4x³+6x²+4x+15
 Comme aux échecs, on étudie la position.  R.H.

 On a une parabole concave dont la dérivée est f'(x)=4x³+12x²+12x+4 qui s'annule pour x=-1.
 On a donc un sommet inversé en S(-1,14).
 Autres points intéressants : A(-2,15), B(1,16), C(1,30).
 Il est inutile de chercher des racines réelles.
 L'intelligence artificielle me donne quatre racines complexes, mais comme je suis fatigué, je les écris pas.   Jean-Michel Affoinez, professeur de mathématique. Lycée Henri Poincaré de Plougastel.

Bieeeen !
Maintenant une question se pose : qu'est ce que les "racines complexes" de cette fonction? Comment les retrouver? Comment, en pratiquant une rotation cohérente et globale de ma courbe, vais-je pouvoir trouver des racines imaginaires? Les mathématiciens me disent que l'on trouvera quatre racines, je les trouve bien présomptueux, car en vérité, il n'y en a que deux, de type racines imaginaires pures. C'est une erreur conceptuelle colossale de coller degré de la fonction et nombre de racines.
Ici, degré quatre : deux racines.
Par contre, une fonction de degré deux, peut, par exemple, avoir quatre racines (deux réelles et deux imaginaires pures). C'est le cas de f(x)=x²+2x+1.
On en revient à notre fonction f(x)=x⁴+4x³+6x²+4x+15
Je donne deux racines seulement, de type imaginaires pures, très simples à calculer si l'on connait la clé  de la fonction g(x), en symétrie de point $(0,y₀). R.H.