Variante de la fonction de Thomae (pop-corn) - bilan des IA

J'ai changé de sujet pour ne pas rester dans le fil de l'autre crétin. Pour une fois qu'on peut parler de choses intéressantes...
Le 07/06/2025 à 19:08, Samuel Devulder nous proposait :

 Alors pour rester dans le domaine des maths disons que toute fonction continue de R->R qui change de signe admet forcément un zéro (==racine, même si le terme est impropre en dehors des polynômes.)
  A propos de racine de fonction continue, je te demande quelle est la ou les racines de la fonction H (H pour Hachel !) définie comme suit:
 1) H(x) = (-1)^p/q pour tout x rationnel s'écrivant p/q avec pgcd(p,q)=1
2) H(x) = 0 sinon (x=0 ou x irrationnel).
 Tu pourrais commencer par démontrer que cette fonction est définitivement continue.
 Puis, peux tu trouver deux valeurs x0<x1 tels que H(x0)*H(x1)<0, c'est à dire deux x pour lesquels la fonction est de signe différent (indice: regarder ce que fait cette fonction sur les entiers par exemples). Qu'en déduis-tu ? Peux-tu en trouver d'autres ?
 Combien de racine a donc cette fonction ? En déduire que cette fonction n'est pas polynomiale

C'est un exercice assez classique, sauf que, désolé je ne sais pas ce qu'est une fonction "définitivement continue". Elle est continue sur un sous ensemble dense de \R (les irrationnels U {0}) et discontinue sur un autre ensemble dense (les rationnels privés de 0).
J'ai voulu voir ce que valent les IA sur cet exercice qu'on trouve un peu partout sur le web :
ChatGPT (version la plus récente) : 0/20 très grosse déception.
1/ Il commence par mal lire, comme Hachel, et traduit (-1)^p/q par (-1)^(p/q).
2/ Après correction il "démontre" que H est discontinue partout !
LeChat : 0/20 idem
"H est discontinue partout"
DeepSeek: 19/20
Rédaction concise mais juste.
Gemini : 20/20
Rédaction très détaillée et très complète, et juste bien sûr. Il indique la parenté avec la fonction de Thomae (ou fonction popcorn). J'ignorais ce nom.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Thomae
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F.J.