Re: Résoudre 5^x=-5

Le 12/06/2025 à 14:03, Richard Hachel a écrit :

  Comment résolvez-vous cette équation?
  5^x=-5
  Un intervenant m'a signalé qu'il n'y avait pas de solution dans R.   Certes, mais...   Il n'y a pas non plus de solution dans C, il est donc inutile de faire le singe (il y a sur ce forum deux têtes de fous disant n'importe quoi ; et de telles équations ne vont pas les arranger).

5^x = -5
e^(x ln 5) = -5
On pose x ln 5 = y + (2k+1)iπ (avec k \in Z)
e^{y + (2k+1)iπ} = -5
e^y * e^{(2k+1)iπ} = 5 * -1
e^y = 5
y = ln 5
d'où x ln 5 = ln 5 + (2k+1)iπ
Solution :
x = 1 + (2k + 1) * iπ / ln 5
Vérification :
pour k = 0 on a x = 1 + iπ/ln(5)
5^x = 5^(1 + iπ/ln 5) = 5 * 5^(iπ/ln(5)) = -5
 On a bien 5^(iπ/ln(5)) = e^{iπ/ln(5) * ln 5} = e^{iπ} = -1