Re: Résoudre 5^x=-5

Le 13/06/2025 à 12:06, Julien Arlandis a écrit :

Le 13/06/2025 à 11:16, Richard Hachel a écrit :

Le 13/06/2025 à 10:34, Julien Arlandis a écrit :

Le 12/06/2025 à 14:03, Richard Hachel a écrit :

  Comment résolvez-vous cette équation?
  5^x=-5
  Un intervenant m'a signalé qu'il n'y avait pas de solution dans R.   Certes, mais...   Il n'y a pas non plus de solution dans C, il est donc inutile de faire le singe (il y a sur ce forum deux têtes de fous disant n'importe quoi ; et de telles équations ne vont pas les arranger).

  5^x = -5
e^(x ln 5) = -5
On pose x ln 5 = y + (2k+1)iπ (avec k \in Z)
e^{y + (2k+1)iπ} = -5
e^y * e^{(2k+1)iπ} = 5 * -1
e^y = 5
y = ln 5
d'où x ln 5 = ln 5 + (2k+1)iπ
 Solution :
x = 1 + (2k + 1) * iπ / ln 5
 Vérification :
pour k = 0 on a x = 1 + iπ/ln(5)
5^x = 5^(1 + iπ/ln 5) = 5 * 5^(iπ/ln(5)) = -5
 On a bien 5^(iπ/ln(5)) = e^{iπ/ln(5) * ln 5} = e^{iπ} = -1

 Tu utilises ici, la trigonométrie complexe de Gauss-Euler-Argand.
 Ce n'est pas qu'elle soit fausse (elle est parfaitement correcte), c'est qu'elle est hors-sujet.  Il y a dans la pensée mathématique humaine un amalgame entre les repères cartésiens et les repères gaussiens.

 Il n'y a aucune notion de trigonométrie nécessaire dans la résolution de cette équation, c'est juste de l'algèbre.
 D'ailleurs la calculatrice de Google dit bien que 5^(1 + iπ/ln 5) = -5 :
 <http://nemoweb.net/jntp?70qMMPXwvMMMA1zASJ1ArMMFg6o@jntp/Data.Media:1>
 

Ce n'est pas la même chose.  Repère xOy cartésien (avec axe imaginaire i'Oi) confondu sur x'Ox mais en sens inversé.  Repère aOi gaussien (axe imaginaire i'Oi perpendiculaire à a'Oa).  Deux concepts différents.  C'est comme si tu voulais traduire en espagnol une oeuvre de Pagnol en utilisant un dictionnaire Anglais-Français.
 Ce n'est pas que le dictionnaire Anglais ne soit pas bon, c'est qu'il est ici totalement inutile.  Repère cartésien. Seulement DEUX dimensions. On cherche les racines des fonctions cartésiennes, c'est à dire les "zéros" puisqu'il faut parler selon le langage d'efji.  Si les racines sont réelles, pas de problèmes.  S'il n'y a pas de racines réelles, y a-t-il un intérêt à en chercher des "complexes"? Je pense que non.
Ca n'a, ici, aucun intérêt.  La courbe ne traversera JAMAIS l'axe des abscisses. Point final.
 Posons f(x)=e^x ou f(x)=5^x ou f(x)=-(3^x), tu n'auras jamais de racines, et en chercher, c'est chercher des cornes de lapin.  Alors on se pose une question : "Et si je cherche un miroir me donnant le reflet imaginaire de la courbe?"
 J'aurais ainsi des racines réelles pour la courbe miroir imaginaire.  Or, les racines réelles de cette courbe sont justement les racines imaginaires (ne surtout JAMAIS employer le mot complexes) de la courbe première.  Tout cela n'ayant rien à voir avec la géométrie d'Euler (avec Poincaré l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps).  La bonne question aujourd'hui, c'est : "Comment débrouiller cet embrouillamini qui confond les deux repères, l'erreur venant du concept cartésien, et pas du concept gaussien. On fait n'importe quoi en proposant des racines complétement bidons pour les repères cartésiens, avec un très mauvais choix de l'implantation de l'axe i'Oi que l'on place perpendiculairement dans un repère 3D qui n'a absolument aucune raison d'exister ici.  Tout doit rester en 2D avec une conscience claire et simple de ce que l'on est en train de faire.
 Résoudre 5^x=-5 doit être fait en utilisant une géométrie analytique simple et cartésienne.
 On trouve facilement (si l'on comprend l'idée) x=1,209 i
 ou x=(Log7/Log5).i, c'est pareil.
   R.H.      

C'est ce que je dis.
Les mathématiciens donnent leur réponse, et moi je donne la mienne.
Ce n'est pas la même.
La bonne réponse est x=1,209 i
Mais il est évident que par la théorie de l'erreur compensée, si tu introduis cette valeur, tu n'obtiendras pas -5.
On en revient au même point que pour les racines imaginaires de f(x)=x²+4x+5.
Les mathématiciens sont incapables de les calculer et de trouver les bonnes. Niveau lycée!!! Les bonnes sont x'=i et x"=-5i
Pire, si je leur demande de remplacer dans l'équation, et de montrer que dans les deux cas, f(x)=0,
ils vont devenir fous.
Ne sachant pas utiliser correctement le concept, ils ne pourront jamais admettre que, par exemple
f(x)=(-5i)²+4(-5i)+5=0
Je les comprends très bien.
R.H.