Re: x^3=1

Le 15/06/2025 à 17:15, Richard Hachel a écrit :

Le 15/06/2025 à 14:41, efji a écrit :

Le 15/06/2025 à 13:52, Richard Hachel a écrit :

Le 15/06/2025 à 13:36, efji a écrit :

Le 15/06/2025 à 13:10, Richard Hachel a écrit :
>

>
x^3=1 ----> x=1
>
OU BIEN x^3=1 ----> x=-i
>
Puisque nous l'avons dit (-i)^x = -1 ou 1 selon la parité de x.
Nous avons donc deux racines x=1 et x=-i.

>

>

Nous sommes d'accord que si a est racine d'un polynôme P(x), alors on peut FACTORISER ce polynôme, et donc trouver une autre polynôme Q tel que P(x) = (x-a)Q(x).

>

nous avons P(x) = x^3-1, et donc d'après

>
>
Tu multiplies une racine réelle par une racine imaginaire.
"Je ne peux pas" dirait notre ami béninois.
Cette confusion qui est la tienne doit être ôtée.
On ne travaille pas les x (réels) comme les i (imaginaires purs).

>
Ah d'accord. Mais "1" c'est bien le "1" de tout le monde, un truc tout ce qu'il y a de plus réel, donc j'ai le droit de factoriser ou pas? Allez, je le fais:
>
P(x) = x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)
Tout va bien ?
>
Donc nous sommes bien d'accord maintenant que toute racine de P qui n'est pas 1 doit aussi être racine de x^2+x+1.
>
Donc d'après la théorie de Hachel, "-i" est racine de x^2+x+1.
Confirmation ?

 Mais non!
 Si tu écris (-i)²+(-i)+1=-1+1+1=1 tu ne peux pas dire que c'est égal à zéro.
 Tu mélanges tout.
 -i est racine de x^3-1, c'est absolument manifeste.
C'est aussi une racine de (x-1).
 Mais pas de x^2+x+1, tu mélanges tout.

Ai-je parlé de "i" quelque part, ou de nombres complexes ?
Tout est réel dans ce que j'écris.
Si 1 est racine du polynôme P, alors il existe un polynôme Q tel que
P(x) = (x-1)Q(x)
C'est faux pour toi ça aussi ?
Bon, si c'est faux, il va falloir nous le démontrer!
Donc comme 1 est racine de P(x)=x^3-1, alors il existe Q tel que
P(x) = x^3-1 = (x-1)Q(x).
N'importe quel gamin sait trouver Q(x) = x^2+x+1
Donc maintenant j'ai
P(x) = x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)
P est un produit, donc si il s'annule (rappel, une "racine" est une quantité qui annule le polynôme, pas une construction débile dans le plan cartésien) en une certaine valeur a distincte de 1, le premier terme (a-1) est non nul, donc nécessairement le second est nul.
Ma question à Hachel :
si a est une racine "imaginaire" de P, c'est forcément une racine de (x^2+x+1), et donc Hachel peut-il vérifier que sa racine "imaginaire" de P est aussi racine de (x^2+x+1). Si par malheur ce n'est pas le cas, toute la théorie hachelienne s'effondre comme une vieille merde (qu'il est).
--
F.J.