Réflexion mathématique

Malgré la présence de deux bouffons qui plombent un peu la convivialité de ce forum, nous allons tout de même tenter de progresser.
La question d'hier était : "Que devient (-i)^x en algèbre?"
C'est évidemment une question intéressante.
Nous avons dit, et tout le monde l'aura compris qu'en algèbre imaginaire, i^x=-1 quelque soit x réel.
i^x=-1, i^(-x)=-1, i^(0)=-1, i^Logx=-1, i^26587=-1, i^(-12)=-1.
On peut alors chercher ce que vaut (-i)^x. Mais nous allons d'abord passer par (-1)^x.
(-1)^0=-1, (-1)^1=-1, (-1)^2=1, (-1)^3=-1, (-1)^4=1
Cela parait correct. On remplace par -i, pour voir.
(-i)^0=-1, (-i)^1=1, (-i)^2=-1, (-i)^3=1, (-i)^4=-1
On aime ou on n'aime pas, mais on ne peut que voir la logique interne. On voit surtout (sauf pour les deux lascars) que (-i) et (-1) donnent systématiquement des résultats inversés, comme c'était déjà la cas pour (1) et (i). Mais un problème va se poser, qu'en est-il pour les quotients, par exemple pour (-1)^(3/2)?
On voit qu'ici un problème surgit. Il y a un nombre pair au dénominateur. On élève au cube, et on obtient provisoirement (-1)^3=-1, mais il faut ensuite tirer la racine carrée d'un négatif.
Le problème survient donc pour les fractions à dénominateur pair.
On a compris que pour tout x, (-i)^x = -(-1)x.
Il suffit donc de trouver l'un pour déterminer l'autre.
Proposons des dénominateurs impairs pour le quotient x.
(-1)^(2/3) = racine cubique se +1 ; soit = 1
(-1)^(5/3) = idem.
 On passe de (-1) à (-i) :
Pour tout (-i)^x, on a donc (-i)^x= -1 si le quotient de x est impair. Facile.
Si le dénominateur du quotient est pair, on a une indétermination. Que vaut (-i)^(3/2)? Je vous laisse à vos réflexions.
R.H.