Imaginaires et rotations.

L'histoire n'est pas toute claire.
Si l'on regarde bien, et si l'on pratique correctement la trigonométrie complexe, on se rend compte que la multiplication par i donne une rotation de 90° dans le sens trigonométrique.
Si l'on multiplie par -i, c'est l'inverse, il y a une rotation dans le sens horaire, anti-trigonométrique,
de 90°.
Ici, c'est très facile. On prend par exemple Z=5+i.
On multiplie par i, et on obtient (5+i)*(i)=5i+i²=-1+5i, puis -5-i, puis 1-5i, et enfin on revient logiquement à la position de départ, 5+i. i produit donc une rotation de π/2
Je rappelle que i n'est pas un nombre comme on l'entend régulièrement, mais un opérateur, comme une racine carrée, ou le signe "-".
Là où cela se complique, c'est lorsqu'on se pose la BONNE question : "Qu'est ce qu'une racine imaginaire d'une fonction f(x) quelconque, comme f(x)=x²+4x+5, f(x)=sqrt(x)+4, f(x)=e^(x)+2, f(x)=Log(x)+3, etc...".
On a pris la mauvaise habitude, semble-t-il, de biaiser la réponse, et de parler de racine "complexe",
ce qui me parait particulièrement incompréhensible et peu intelligent, j'ai expliqué pourquoi.
Il semble donc que la notion de racine imaginaire (toujours pure, mais complexe) soit le résultat d'une rotation de 180° de type g(x)=-f(-x)+2y₀ sur le point $(0,y₀), voire simplement sur l'origine O quand y₀ n'existe pas. Il est donc faux de supposer ici une rotation de 90°, c'est à dire de i. Il faut supposer une rotation de 180°, ou de -180° puisque c'est la même chose.
C'est à dire i² ou -i². C'est assez logique si l'on se rend compte que pour trouver les racines imaginaires telles que je les ai proposé, il faut multiplier non par i, mais par (-i²=1) sans oublier d'opérer aussi sur -b/2a puisque c'est la courbe entière qui subit une rotation et pas seulement son discriminent. On peut alors commencer à faire le lien entre la géométrie analytique cartésienne et la trigonométrie complexe d'Euler, sans déshabiller Jacques pour habiller Paul. De plus nous pouvons découvrir quantité de racines imaginaires qu'on ne connaissait pas, par exemple f(x)=e^x a bien une racine imaginaire qui est x'=i.Log2, certaines fonctions quadratiques ayant déjà deux racines réelles peuvent avoir parfois deux racines imaginaires associées.
Par contre, il devient clair que certaines fonctions n'ont que deux racines l'une réelle, l'autre complexe, alors que leur exposant est par exemple 81. f(x)=x^81-1 n'a pas 81 racines, vision ridicule des choses, mais seulement deux, qui sont confondues,  x=1 et x=-i.
Je vous remercie de votre attention.
Tout le reste est purpipo, carré rond ridicule, et branche mathématique digne d'élagage complet.
Il n'en reste même pas assez d'eau pour emplir le tesson d'une bouteille. R.H.