Re: Imaginaires et rotations.

Désolé de ne pas répondre au petit garçon H (yeah!), qui écrit des bêtises pour attirer l'attention (faire l'âne pour avoir du çon($)), mais il y a des trucs qui méritent mieux que lui par ici...
___
($)  .. zut je crois avoir mis trop de cédilles
bref,
Le 28/06/2025 à 12:12, Samuel Devulder a écrit :

Le 28/06/2025 à 12:02, Python a écrit :
 

a T b = a + 1

 Il faut faire mieux...

J'ajoute aussi que quand on y réfléchit: a T a c'est "a" répété deux fois, donc a+2 (de la même façon que a+a = a*2), pas a+1, et cela quel que soit la façon de définir "T". C'est une contrainte forte qu'on exploitera plus bas (1).
Si on note "//" la division entière (avec 0//0=1) et qu'on suppose a<=b, alors on peut envisager
a T b = a + 1 + (a//b).
Le a//b c'est juste 0 si a<b et 1 si a=b. On aurait aussi pu utiliser le symbole de Dirichlet delta_(a-b).
Oui mais si a>=b ??
Bah il faut considérer la commutativité. Si on la veut, c'est à dire a T b = b T a, on peut étendre la définition avec des min et max au lieu de a et b directement:
pour tout (a,b) in N²
a T b = max(a,b) + 1 + (min(a,b)//max(a,b))
Du coup on a aussi une distributivité avec l'addition:
i) supposons a<b, (a T b)+c vaut donc a + 1 + c. Or a+c<b+c, donc (a+c) T (b+c) = (a+c)+1 = a + 1 + c = (a T b)+c
ii) si a>b, comme a T b = b T a, on se ramène au cas précédent.
iii) enfin si a=b, (a T a)+c = a+2+c = (a+c) + 2 = (a+c) T (a+c)
Donc, dans tous les cas on a: (a T b) + c = (a+c) T (b+c). C'est distributif à droite. La distributivité à gauche se traite de façon similaire.
C'est vraiment cool, on est proche de la fin. Il ne reste que l'associativité...
Considérons a T a T a T a = "a" répété 4 fois = a + 4 par définition de "+" vis à vis de "T".
Considérons (a T a) T (a T a) = (a+2) T (a+2) = "a+2" répété 2 fois, donc (a+2)+2 = a+4. Ca a l'air de coller. De plus en plus cool !! On aurait trouvé une opération cohérente qui est à l'addition ce que l'addition est à la multiplication. :)
Humm.. Continuons un peu quand même un peu car ce qui précédè n'était qu'un calcul, pas une preuve. Retirons les parenthèses pour voir ce que ca donne:
a T a T a T a T a T a      = "a" répété 6 fois
                            = a + 6
par def de "+" vis à vis de "T".
Ensuite:
(a T a) T (a T a) T (a T a) = "a T a" répété 3 fois
                             = (a T a) + 3
                             = (a + 2) + 3
                             = a + 5
Mince on a pas le même résultat avec ou sans les parenthèses. L'associativité mène à une incohérence. Tiens tiens ca rappelle les mauvaises propriétés du machin hideux, oops i², de l'autre zigoto. Il ne faut donc pas l'utiliser.
Ah oui donc, un telle opération "T", si elle est précurseur de l'addition peut être commutative, distributive, mais pas associative. C'est moins cool tout d'un coup. Mais après tout l'opération puissance ne l'est pas non plus : (a^b)^c != a^(b^c)
A-t-elle au moins un élément neutre ? soit e l'élément neutre: pour tout a dans N on doit avoir: a T e = e T a = a. Prenons a = e, donc e T e = e + 2 par définition de "+2", mais aussi e T e = e puisque "e" est l'élément neutre. Donc e + 2 = e. "e" serait donc un élément absorbant pour l'addition dans N. Ca n'existe pas.
Voilà: on peut définir une opération qui génère l'addition par répétition. Elle est commutative, distributive par rapport au "+", mais pas associative et n'a pas d'élément neutre.
Je pense avoir fait le tour de la question.
sam.