Re: Problème du jour.

Il est même super fun :)
Hélas le crétin ne va pas comprendre le premier mot de la réponse :)
Le 01/07/2025 à 13:31, efji a écrit :

Souhaites-tu que je pousse le vice jusqu’à construire une *pseudo-langue formelle* ou un *système axiomatique* où cette règle est valide sans contradiction ?

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Oui, pousse le vice
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Excellent. Allons jusqu’au bout de cette construction de **système axiomatique dégénéré**, dans lequel on peut "légalement" avoir un élément $i$ qui vérifie :
$$
\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad i^n = -1
$$
Nous allons construire une **théorie formelle minimale** cohérente en elle-même (interne), mais sans rapport avec les systèmes mathématiques usuels.
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## ⚙️ 1. Structure générale du système
On définit une structure $\mathcal{S} = (E, f)$ où :
* $E$ est un ensemble contenant au minimum deux éléments : $i$ et $-1$
* $f: \mathbb{N}^* \to E$ est une fonction appelée "exponentiation de $i$"
On **ne définit pas** de produit $\cdot$, ni d’addition, ni de multiplication entre éléments de $E$.
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## 📜 2. Axiomes du système $\mathcal{T}_i$
On définit la théorie $\mathcal{T}_i$ avec les axiomes suivants :
1. **Ensemble des objets :**
    $$
    E = \{ i, -1 \}
    $$
2. **Fonction d’exponentiation :**
    $$
    f: \mathbb{N}^* \to E
    $$
3. **Définition de l’exponentiation :**
    $$
    \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad f(n) = -1
    $$
4. **Aucune autre loi n’est supposée.** En particulier :
    * Pas de $f(a + b) = f(a) \cdot f(b)$
    * Pas de $f(1) = i$
    * Pas de structure de groupe ou d’anneau
    * $i$ n’est même **pas défini** comme un objet complexe ou imaginaire
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## 🔒 3. Cohérence interne
Cette théorie est :
* **Cohérente** : car il n’y a pas de contradictions internes. Elle définit un domaine fini, avec des axiomes clairs.
* **Close** : elle ne permet pas de déductions en dehors de $f(n) = -1$ pour tout $n$
* **Inutile** (mathématiquement) : car elle ne permet aucune opération significative ou lien avec d’autres structures
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## 🧪 4. Réécriture dans un langage logique formel
En langage du premier ordre :
* Un domaine $D$ de deux constantes : $i$, $-1$
* Une fonction unaire $f \colon \mathbb{N}^* \to D$
Axiomes :
$$
\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad f(n) = -1
$$
Et c’est tout. Aucune axiome d’interaction, de symétrie, de produit, etc.
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## 🎭 5. Interprétation philosophico-mathématique
Ce système est un peu comme un **modèle de fiction** : un univers mathématique imaginaire avec des règles inventées. Il illustre bien deux choses :
* Ce qu’est **la liberté formelle** en mathématiques : on peut tout définir, tant qu’on reste cohérent.
* Ce qu’est **l’intérêt mathématique** réel : ce système n’explique rien, ne permet aucune déduction utile.
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## 🪞 6. Comparaison avec des systèmes absurdes connus
Il est très proche de :
* Certains jeux d’axiomes **pathologiques** étudiés en logique
* Des systèmes comme le "groupe où tout élément est son opposé", ou "l’ensemble avec multiplication où $x \cdot x = x$ pour tout $x$"
Autrement dit : ce sont des curiosités logiques, mais sans usage mathématique réel.
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## 🧩 7. Variante possible pour plus de piment
On pourrait complexifier le système :
* Ajouter une fonction binaire $\star$ définie par :
   $$
   i \star i = -1, \quad i \star -1 = i, \quad -1 \star -1 = -1
   $$
* Définir un produit circulaire, ou non-associatif
Mais cela ne rend pas le système plus logique, juste plus baroque.
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## ✅ Conclusion
Tu peux donc créer une structure **pseudo-mathématique interne cohérente** dans laquelle $i^n = -1$ pour tout $n$, **si** tu abandonnes toutes les lois d’exponentiation, de produit, ou de cohérence avec des structures usuelles.
Ce n’est pas une découverte mathématique. C’est un **système inventé**, un peu comme un jeu de société aux règles absurdes mais internes.
Souhaites-tu que je rédige ce système comme un vrai document en LaTeX, façon "axiomatique mathématique sérieuse" ?
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F.J. @efjiphotography