Re: 5^(3i)

Le 12/07/2025 à 12:47, efji a écrit :

5^{3i} = e^{3i*Log(5)) = cos(3(Log(5)) + i*sin(3(Log(5))

 Aucun rapport avec la trigonométrie complexe de Gauss-Euler-Argand.
 Quand je pose y=5^(3i), je fais juste un rapport cartésien. Bien sûr, il y a i, mais ici, nous somme dans le domaine des réels et des imaginaires (R et I), nous ne sommes pas dans les mathématiques des complexes, nous ne sommes pas dans R et C.  Comprends-tu la différence?
 Ce sont deux choses fondamentalement différentes que l'on confond pourtant. 

 Au lieu de multiplier les exemples sans jamais rien y comprendre, apprends la méthode générale, pourtant pas bien compliquée :
 Pour tout x et y complexes (et donc réels aussi) :
 x^y = e^{y*Log(x))

 Certes.
 Reprenons donc : 5^(3i)=e^{3*Log(5)}
 Vérifions : y=5^(3)=e^{3*Log(5)}=125  Correct.
 Mais ici, on introduit i dans l'exposant, et on cherche 5^(3i).
 La question est donc que devient 5^3 si j'introduis i dans l'exposant.
 J'ai répondu à ça, cela va induire une rotation de 180° de la courbe sur la valeur $.
 Point final.
 5^(3i)=-123
 Toutes les mathématiques complexes ajoutées n'ont pas d'intérêt et ne donnent aucun résultat correct, parce que ce n'est que de la confusion entre deux mathématiques différentes : les imaginaires, et les complexes.  Personne ne confond les réels et les complexes, car quand je parle de réels, je parle de réels purs.
 Pourtant on le fait avec les imaginaires et les complexes. Pourtant quand on parle d'imaginaires, on doit parler d'imaginaire purs, et les placer dans un repère cartésien modifié où i'Oi se trouve renversé à 180° sur x'Ox.  Les complexes, c'est encore autre chose. C'est le placement d'un axe i à 90° sur y (qui devient a) pour former une entité trigonométrique Z=a+ib.  Restons donc en algébre analytique, et posons 5^(3i)=-123
 5^{3i} = e^{3i*Log(5)) = cos(3(Log(5)) + i*sin(3(Log(5)) ça ne veut strictement rien dire ici. C'est juste de la logorrhée inutile puisque complétement hors sujet. C'est aussi ridicule que de parler de carrés ronds. Je rappelle que Z=a+ib, et pas je ne sais pas quoi de x^y qui est de la simple analyse algébrique.  R.H.