Re: Quelle est la proba ?

Le 12/07/2025 à 16:26, Michel Talon a écrit :

<<Soit un M>=0 un réel donné. Quelle est la probabilité que les

racines *de module <= M* de x²+bx+c soient réelles ?>>

Je viens de voir ton problème et le programme python. Sauf incompréhension de ma part il me semble que l'énoncé ne correspond pas exactement au programme.

Heuu oops, tu as raison. En déplaçant le *de module <= M* pour éviter un énoncé lourdingue type <Soit un M>=0 un réel donné. Quelle est la probabilité que les deux racines de x²+bx+c soient *de module <= M* et soient réelles ?>> j'ai changé le sens de la question. :( Mea cula.

D'abord pour parler de proba, il faut dire  quelque chose sur le tirage au hasard.
On peut intuiter qu'an fait il faut choisir b et c au hasard uniforme, mais dans quel domaine?

Oui uniforme dans l'espace des polynômes, ce qui revient à pendre (b,c) uniformes dans R² tant que le module des racines <= M. Uniformes sur R² revient à prendre b et c chacun uniformes sur R tant que la contrainte des modules soit respectée.
Argh: Uniforme dans R pose un soucis pour une résolution numérique... Faut il prendre un sous ensemble de R pour estimer la proba ? Si oui lequel ?? [?1]

Ton programme suppose que b et c évoluent dans un carré allant de -M à 2M.

Pas exactement.
b = np.random.uniform(-2*M, 2*M, n)
c = np.random.uniform(-M**2, M**2, n)
donc b dans [-2M,2M] et c dans [-M², M²]. Un rectangle.

Ca n'a rien d' évident. En fait si b et c sont rééls et les racines complexes, elles ont le  même module et donc le produit des racines , soit c, doit être <= M^2. 

Oui, mais plus encore. Soient x1,x2 les racines, on aussi : b = -(x1+x2)/2, donc [b| <= |-(x1+x2)/2| <= (|x1|+|x2|)/2 <= (M+M)/2 <= M.
On peut donc restreindre b de -2M à 2M, c de -M² à M² ce qui évite de devoir choisir uniformément (et informatiquement) dans R. Cela réponds à [?1] supra.
Cela étant, cela n'est pas la totalité du rectangle qui est pris en compte. La ligne 14:
mask_module = (np.abs(rac1) <= M) & (np.abs(rac2) <= M)
Nous restreint donc aux échantillons uniformes qui conduisent aux racines de modules <= M.
(Pour les non initiés à python le programme évalue par Monte-Carlo la proba pour un M donné et affiche cette estimation pour M variant de plusieurs ordres de grandeurs. Il montre un phénomène étrange.)

 On doit donc avoir 0 < c <M et b^2-4c <0  ce qui dessine une parabole d'aire 4/3 M^3 sauf erreur. 

Tu veux savoir sur quel sous-domaine du rectangle les racines sont non-réelles pour un b fixé entre -2M et 2M.
Attention
1) c'est M² la limite max pour c au delà de laquelle les racines ont un module trop grand.
2) 4/3 M^3 c'est l'aire "sous" la parabole; c'est à dire c<=b²/4. Or toi tu veux c>b²/4, l'aire au dessus de la parabole ou il n'y a pas de solution réelle.
Un autre endroit où il n'y a pas de solution, ce sont les lieux tels que le module de la racine > M.
...et là on est à deux pas de la résolution.
Je stoppe ici pour ne pas divulgacher.
La suite plus tard à moins que quelqu'un ne trouve la solution.