Re: [Ma solution] Quelle est la proba ?

Le 19/07/2025 à 01:04, Samuel DEVULDER m'a répondu :

 

c en ordonnée : <https://i.goopics.net/dyykd2.png>.
../..
Sauf erreur de ma part, celles donnant exactement deux racines de
module inférieur à M sont représentées par le triangle du milieu :
racines complexes dans la zone en violet clair, racines réelles
dans la zone en bleu clair.

 
Oui !
 

On a deux racines complexes de module supérieur à M dans la zone
en violet foncé, et deux racines réelles de module supérieur à M
dans les trois zones en rouge.

 
Donc aucune de ces zones ne convient au problème.

Aucune de ces zones ne convient au problème que /tu/ as posé (plus
précisément que tu as reformulé après la remarque de Michel Talon).

D'ailleurs, pour le poser d'une façon parfaitement rigoureuse, il
faut dire qu'il s'agit d'une probabilité conditionnelle : c'est la
probabilité que les deux racines du polynôme x²+bx+c soient réelles,
sous la condition qu'elles sont /toutes les deux/ de module inférieur
à M.

Mais je rappelle que la question de départ provenait de la vidéo de
Michael Penn <https://www.youtube.com/watch?v=5-tCRQDhsb4>, et j'avais
à cœur de répondre aussi à cette question-là.

Quand à tout le reste de la figure (en blanc), ce sont les cas
où il y a deux racines réelles, l'une de module plus grand que M
et l'autre de module plus petit que M.

 
Ah c'est ca la zone A3 alors ?

Oui.

Ok, je vois pourquoi elle est infinie en effet. Cette zone n'est en
principe pas accessible avec l'énoncé (correct) : les racines (sous
entendu *toutes* les racines) sont de module <= M.

:-D

Je trouve amusant que tu déclares qu'un énoncé puisse être correct ou
incorrect. Les deux énoncés sont intéressants, il se trouve que la
réponse n'est pas la même dans les deux cas, et moi j'ai voulu traiter
les deux plutôt que me restreindre au tien (d'autant plus que la
question de Michael Penn était la première que j'aie vue).

On calcule facilement que la zone en violet clair a une aire égale
à 8M³/3 tandis que la zone en bleu clair a une aire égale à 4M³/3.
Par conséquent, sur l'ensemble des équations ayant deux racines
de module plus petit qu'un nombre positif donné, ces racines sont
complexes dans deux cas sur trois et réelles dans un cas sur trois.

 
Oui et cela indépendamment de M donc pour tout le plan sans restriction

Oui.

ce qui est surprenant car 1/3 est aussi la proba que le polynôme ait des
racines réelles lorsque b et c suivent une loi normale centrée, et
encore la proba lorsque b et c sont pris uniformément dans le disque
unité; enfin si j'en crois cet outil: <https://tinyurl.com/457x6p77>(¹)

Hein ? J'aimerais bien comprendre comment ils peuvent arriver à cette
conclusion. En effet, qu'il s'agisse d'une loi normale centrée ou d'une
probabilité uniforme dans le disque unité, la probabilité que l'on ait
c < 0 est la même que d'avoir c > 0 (donc 1/2), or les racines sont
toujours réelles si c < 0, donc la probabilité que le polynôme ait des
racines réelles est forcément supérieure à 1/2, donc supérieure à 1/3.

(¹)<https://www.perplexity.ai/search/quelle-distribution-pour-b-et-UnlRH0nSQ5GX1iRTd4fNzg>

Cordialement,
Olivier

P.-S. : On peut se poser une question différente, à savoir la
probabilité d'avoir des racines réelles au polynôme x²+2bx+c².
Ici, la réponse sera 1/2.