On pose une fonction f(x), et on dit f(x)=e^x
Mais c'est fonction de quoi envers quoi? On respire, on souffle. C'est y en fonction de x. Technique des petits pas. On EXPLIQUE les choses.
On est loin du comportement de Python ou d'efji, qui aiment à jouer les guignols en nous racontant qu'ils savent calculer l'hypoténuse d'un carré rond, et qu'ils sont de grands critiques mathématiques. Mouarfff. Je propose de donner à x une valeur, par exemple zéro (pour faire simple).
Miracle, j'ai immédiatement une valeur pour y, et j'ai y=e^0=1
Je pose alors x=1 pour voir. Oh! Une autre valeur apparait y=e.
Et puis je peux même tracer ma courbe exponentielle. Le problème qui va alors se poser, c'est celui de la notation.
C'est très intéressant d'aller plus loin, et d'introduire les imaginaires dans tout cela, puis de dire:
e^(iθ)=cosθ+i.sinθ
Mais ici, hormis une affirmation vraie, mais abstraite si l'on ne comprend pas que c'est une notation, tout cela sert à quoi, et explique concrètement QUOI? D'abord, lorsque je dis f(x)=e^x, je dis que y=e^x. C'est très simple, je place mes x et mes y, et j'ai une courbe simple à comprendre. Introduisons les imaginaires en place de x, comme on le fait pour les autres fonctions. Ne cherchons pas midi à quatorze heures, mais à comprendre clairement les choses.
On se rend alors compte (on respire, on souffle, Python et efji peuvent déjà abandonner, avec deux neurones, ils ne pourront pas comprendre) que nous ne sommes plus dans le même cas que les polynômes ou x est une base, comme dans y=x²+4x+5 mais dans les exponentielles, ou x est un exposant, comme dans y=e^x.
Or, la formulation de l'imaginaire à utiliser n'est pas la même.
Dans un cas, on utilise x'=x+ib, dans l'autre x'=x+iθ.
Mais dans les deux cas, j'ai toujours un y qui est réel.
Donc quelque chose cloche dans l'écriture y=e^x, car j'ai y=e^x=e^iθ=cosθ+i.sinθ ce qui est absurde écrit ainsi. Il y a donc quelque chose qui cloche non dans la vérité des choses, mais dans l'écriture des choses, car il est ridicule d'écrire y=cosθ+i.sinθ comme chacun le comprend bien.
Il est facile de remarquer que, si l'on suit bien ce que j'ai dit (ce qui nécessite un peu d'attention et d'arrêter de faire le singe), on a bien, et facilement y=cosθ.
Encore faut-il comprendre que mon cercle trigonométrique de Gauss-Argand doit être clipé sur mon repère cartésien en prenant bien soin de mettre l'origine des angles en position midi et pas trois heures.
J'arrête ici. Je reste dans l'optique des petits pas. Ce que je voudrais, c'est que chacun comprenne les choses, mais autrement qu'en ayant appris des formules toutes faites, mais sans rien visualiser du tout qu'un repère d'Argand complétement hors-sol (même si ça marche) et qui va conduire à un brouillard conceptuel en troisD, sans qu'on sache plus de quoi on parle, ni qu'au début, il s'agit d'un problème cartésien 2D (x et y) qu'il faut pourtant traiter en 2D, même en introduisant des x imaginaires, et seulement des x imaginaires. Résoudre x²+4x+5, c'est garder y=0 et ma valeur y réelle. Mais c'est imaginer deux x, qui vont prendre des valeurs complexes de type a+ib.
Ce doit être la même chose avec les exponentielles.
y=f(x)=e^x, c'est rechercher les valeurs réelles de y, et les valeurs imaginaires de x qui lui correspondent. Ces valeurs de x ne s'écrivent plus selon le type x=a+ib comme dans les polynômes, mais selon le type x=a+iθ comme dans les exponentielles. On remarque que f(x)=e^(i.pi) par exemple, vaut y=-1.
Mais aussi que f(x)=e^(i.pi/2) vaut y=0, et pas y=i, proposé par les mathématiciens, mais qui ne veut rien dire du tout.
Le problème vient d'une mauvaise écriture (donc compréhension des choses) car s'il faut écrire y=0, il faut écrire x=0+i.pi/2
En effet e^(0+i.pi/2)=0 et pas y=i, c'est x qui vaut ici x=O+i.pi mais pas y. Bonne réflexion (pour ceux que ça intéresse et qui cherchent à comprendre). R.H.
| Date | Sujet | # | Auteur | |
| 2 Mar 26 |  problème de notation | 6 | Richard Hachel | |
| 2 Mar 26 |   Re: problème de notation | 1 | efji | |
| 2 Mar 26 |  Re: problème de notation | 4 | Samuel DEVULDER | |
| 2 Mar 26 |  Re: problème de notation | 3 | efji | |
| 2 Mar 26 | Re: problème de notation | 2 | Richard Hachel | |
| 4 Mar 26 | Re: problème de notation | 1 | Python |
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