J’ai modifié ma proposition, suite aux remarques qui m’ont été faites, en s’appuyant sur deux articles concernant la cinématique
https://femto-physique.fr/mecanique/cinematique.php et
https://iihe.ac.be/~cvdvelde/Info/Cours/ChapI.pdf . Si quelque définition venait à manquer, il faudrait donc incriminer les auteurs de ces articles.
La cinématique étudie le mouvement du point indépendamment des causes qui lui donnent naissance. Elle repose sur une description euclidienne de l’espace et d’un temps absolu.
LE TEMPS
Nous sommes tous familiers avec cette “machine” qui réactualise constamment le présent, qu'on appelle le temps et que l'on réduit souvent à ces quelques attributs : chronologie, durée, flèche du temps... Pourtant, les philosophes le savent bien, la question du temps est difficile et toute tentative de définition mène au mieux à des métaphores.
Il a fallu attendre le XVIIe siècle avant que le temps devienne un concept fondamental en physique. On s’accorde en général sur le fait que la physique moderne est née suite à l’introduction du temps mathématique par Galilée lors de ses travaux sur la chute absolue.
L’ESPACE
L’expérience montre que le mouvement possède un caractère relatif. En d’autres termes, on ne peut pas dire qu’un corps est “en mouvement” (ou “au repos”) sans préciser par rapport à quoi. Pour décrire le mouvement il est donc nécessaire de préciser un référentiel qui permet de repérer la position d’un point : c’est le repère d’espace muni d’une échelle spatiale permettant de faire des mesures de longueur. Dans le cadre de la mécanique newtonienne, l’espace est supposé à trois dimensions, euclidien (obéissant à la géométrie d’Euclide), homogène et isotrope. Cet espace est absolu et ses propriétés sont indépendantes de la matière qui s’y trouve. Armés des lois de la géométrie euclidienne, nous pouvons alors mesurer la distance entre deux points ainsi que l’orientation de n’importe quel axe à condition de définir une unité de longueur : le mètre du Système international.
Pour décrire le mouvement d’un corps matériel il est nécessaire de préciser par rapport à quel repère d’espace on fait les mesures de distance et par rapport à quelle horloge on mesure le temps. Le repère d’espace associé à un repère temporel forme un référentiel. En général, on précise uniquement le repère d’espace puisque le temps newtonien est absolu. Insistons sur le fait que parler d’un mouvement sans définir le référentiel n’a aucun sens!
TRAJECTOIRE.
On appelle trajectoire d’un mobile l’ensemble des positions successives qu’il occupe au cours du temps.
REPÉRAGE D’UN POINT.
Dans le cas d’une trajectoire quelconque dans l’espace à 3 dimensions ou dans un plan, la position P du mobile est entièrement déterminée par son vecteur position à chaque instant: r(t) = OP(t) = a e où e est le vecteur unitaire de r.
Ceci implique le choix d’une origine O. Dans un référentiel (O, (ek)), (ek) étant une base orthonormée de E, le vecteur position peut s’exprimer en fonction de ses coordonnées cartésiennes: x1, x2, x3.
x1 = OP1, x2 = OP2, x3= OP3
où P1, P2 et P3 sont respectivement les projections du point P sur les axes Ox1, Ox2 et Ox3. Le vecteur position r s’écrit en fonction de ses coordonnées (ak):
r = Σ ak ek
où les ek sont des vecteurs de longueur unité dirigés suivant les axes Oxk.
VITESSE INSTANTANÉE.
La vitesse instantanée v(t) est définie par:
v(t) = lim ∆r/∆t quand ∆t→0
où ∆r = r(t + ∆t) − r(t) est le vecteur déplacement entre les instants t et t + ∆t.
La vitesse instantanée est donc un vecteur qui est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.
v = dr/dt
Le vecteur v peut s’écrire en fonction de ses coordonnées dans le référentiel
(O, x1, x2, x3).
v1 = dx1/dt
v2 = dx2/dt
v3 = dx3/dt
À la limite où ∆t tend vers zéro, le vecteur ∆r tend vers un vecteur tangent à la trajectoire. Le vecteur vitesse est donc toujours tangent à la trajectoire. On peut donc l’écrire :
v = |v| ft/|e|
ft étant le vecteur unité tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement, au point considéré, et |v| le module du vecteur v . Il est donc donné par :
|v| = sqrt (Σ vk^2)
L’ACCÉLÉRATION.
L’accélération d’un mobile caractérise la variation de sa vitesse au cours du temps. Procédant comme pour la vitesse, on définit l’accélération g(t) à un instant t donné par:
g(t) = lim v(t+∆t)−v(t) quand ∆t→0
L’accélération instantanée d’un mobile est la dérivée de sa vitesse par rapport au temps, à l’instant considéré:
g(t) = dv/dt
On définit ensuite la grandeur y, y = b ft avec b = arth v/c. Elle se décompose suivant la base (ek) en composantes yk:
yk = bk ek, y = Σ yk = Σ bk ek.
On construit l’espace des vitesses F avec ces vecteurs ainsi définis, y ε F, puis l’espace G produit de E par F sur le corps des complexes
https://fr.m.wikiversity.org/wiki/Espace_préhilbertien_complexe/Produit_scalaire#Espaces_préhilbertiens_complexes
G = E x F, z ε G, avec z = x + i*y.
On peut également construire G sur R^2, mais les calculs avec les complexes sont plus aisés.
C’est mieux, nan ?
…