Re: Equation récipropque

Le 12/03/2023 à 22:56, Olivier Miakinen a écrit :

[réponse dans fr.sci.maths seul]
 Bonjour,
 Le 12/03/2023 15:59, Richard Hachel a écrit :

>
[1] t=(x/c).sqrt(1+2c²/ax)
>
Il s'agit maintenant de trouver la fonction réciproque.
>
[2] x=(c²/a)[sqrt(1+(a.t/c)²)-1]

 N'étant pas physicien, je me suis amusé à partir du membre de droite de [2]
et d'y remplacer t par son expression d'après [1], parce que je doutais un
peu de la possibilité de se débarrasser de la racine carrée.
 Mais après quelques calculs je me suis rendu compte que sous la racine
carrée on obtient : (ax/c²)² + 2(ax/c²) + 1, c'est-à-dire le carré de
((ax/c²) + 1). Finalement on trouve bien que le tout est égal à x.
 J'ai essayé de faire aussi l'inverse, à savoir partir du membre de droite
de [1] et d'y remplacer x pour voir si on retombe bien sur t, mais là je
me suis perdu dans les calculs. Je réessaierai à l'occasion.
 

La réponse directe et inverse se trouve dans le calcul maxima suivant:
(%i1) t=(x/c)*sqrt(1+2*c^2/a/x);
                                          2
                                       2 c
                                  sqrt(---- + 1) x
                                       a x
(%o1)                        t = ----------------
                                         c
(%i2) solve(%,x);
                                        c t
(%o2)                       [x = ----------------]
                                                2
                                       a x + 2 c
                                  sqrt(----------)
                                          a x
(%i3) %^2;
                                         2  2
                                  2   a c  t  x
(%o3)                          [x  = ----------]
                                               2
                                      a x + 2 c
(%i4) solve(%,x);
                      2  2    2     2              2  2    2     2
              c sqrt(a  t  + c ) + c       c sqrt(a  t  + c ) - c
(%o4) [x = - -----------------------, x = -----------------------, x = 0]
                         a                            a
(%i5) solve(%[2],t);
              2
Is c (a x + c ) positive, negative or zero?
p;
                                    2                      2
                             2   2 c  x             2   2 c  x
                       sqrt(x  + ------)      sqrt(x  + ------)
                                   a                      a
(%o5)          [t = - -----------------, t = -----------------]
                               c                      c
Evidemment en choisissant les réponses positives. Il faut regarder ces formules avec des fontes à largeur fixe.
--
Michel Talon