Comment trouver des racines complexes cohérentes?

Nous allons tenter de découvrir les racines complexes de l'équation f(x)=x²-2x+8. Si nous regardons bien, nous voyons une courbe qui ne croise pas l'axe x'Ox, et donc qui n'a pas de racines réelles. Nous remarquons que la dérivée y²=2x-2 trouve son annulation en x=1, et donc que le point S(1,7) représente un sommet. D'autres points peuvent-être placés sur cette courbe.
(2,8),(3,11),(4,16),(-1,11), (-2,16),(0,8).
Mais ce sont les deux racines complexes que nous désirons trouver.
Quelles sont-elles? Pour le savoir, il faut réaliser une rotation de 180° autour du point M(0,8) qui marque le passage de la courbe sur l'axe vertical y'Oy. Nous obtenons alors la courbe miroir tangente en M(0,8) de f(x), que nous appellerons courbe g(x), et dont l'équation va devenir g(x)=-x²-2x+8. Cette courbe g(x) a deux racines réelles x'=-4 et x"=2.
Nous avons dit de nombreuses fois que les racines complexes d'une courbe étaient les racines réelles de sa courbe miroir (en rotation de 180°) et réciproquement. Nous avons donc une solution x'=4i et x"=-2i pour f(x). Attention aux signes. Le point A de g(x) est A(-4,0) qui s'écrit A(4i,0) si on le décrit via f(x). Le point B(2,0) de g(x) étant le même pour f(x), mais s'écrivant B(-2i, 0), et non B(2,0). Voilà donc une méthode élégante pour retrouver les racines complexes  facilement, et les placer directement sur un repère cartésien. Application numérique:
f(x)=x²-2x+8.
f(x)=(4i)²-2(4i)+8=16+8+8=0
f(x)=(-2i)²-2(-2i)+8=-4-4+8=0
R.H.