Re: Proposition de revue des groupes vides de fr.lettres.*

Le 14/09/2023 à 09:50, robby a écrit :

Le 13/09/2023 à 14:00, Richard Verret a écrit :

Quant à notre intuition physique pour l’ensemble des réels

 je ne suis pas sur que "l'intuition physique" fasse la différence entre les decimaux, les rationnels, les algébriques, les transcendants, etc.
 D'autant que pour un physicien, Pi vaut environ les doigts de la main.

Ce n'est pas dans les mesures que l'on a besoin des nombres réels, c'est
dans le modèle.
Une mesure ce n'est même pas simplement un nombre rationnel (ni d'un
sous-ensemble de nombres rationnels selon la précision des instrument) :
c'est un intervalle entre deux valeurs.
Dans le modèle mathématique (qu'il s'agisse de Newton ou d'Einstein,
ou même de physique quantique) c'est différent, on a "abstrait", c'est
à dire ramené au minimum, tout ce que mesure peut recouvrir.
Ce qui suit vaut autant pour les longueurs que les durées (et pas
seulement) :
- on peut toujours comparer deux valeurs, plus grand, plus petit, égales
donc c'est un ensemble ordonné
- on peut toujours répéter une grandeur (i.e. multiplier par un entier)
pour en dépasser une autre, donc c'est un ensemble archimédien
- en théorie on peut toujours trouver une valeur entre deux valeurs
distincte, c'est un ensemble dense (ça reflète la considération que
en théorie la précision peut toujours s'améliorer, l'histoire va dans
ce sens)
avec ça on arrive déjà à l'ensemble Q des rationnels. Tu noteras
qu'il y a un pendant expérimental à chacune des conditions
ci-dessus. Multiplier par un entier c'est dupliquer un étalon
de longueur, c'est répéter un phénomène de durée constante
(tiens tiens, les voilà nos "horloges"), etc.
la nécessité de la complétude c'est un peu plus fin. On peut la
relier à l'idée qu'une suite de mesures de plus en plus précise
d'une valeur inconnue permet de parler asymptotiquement de cette valeur.
De plus sans la complétude tu oublies le calcul différentiel.
Et c'est quoi l'unique corps ordonné archimédien complet ?
C'est R, l'ensemble dit des nombres réels.