Le 22/03/2025 à 23:58, Python a écrit :
Le 22/03/2025 à 23:14, Richard Hachel a écrit :
... les racines de la fonction f(x)=x^8+1
Chez moi, il n'y en a que deux, qui sont complexes. x'=i et x"=-i.
"Pour toi", avec une définition qui t'es propre et qui entre en contradiction avec la définition du term "racine". De fait c'est juste ta façon foutraque de dire que g:g(x) = 2*f(0) - f(-x) = 2 - x^8 - 1 = - x^8 + 1 a comme racines -1 et 1. Rien à voir avec les racines de f, et aucune raison de donner à -1 un autre nom "i".
C'est exact, on pose f(x)=x^8+1 et on ne trouve pas de racines. On cherche alors g(x) en procédant comme on peut à une rotation centrée sur le point $(0,y₀) pour obtenir la courbe en symétrie de point. Ici on a facilement g(x)=-x⁸+1 puisqu'il suffit de changer les signes de monômes à puissance paire. On trouve comme racines réelles de g(x) :x'=-1 et x"=1
On peut alors revenir à la fonction f(x) de départ, en posant i=-1. Le fait de donner les réponses en termes de i, et plus de x, montre qu'il s'agit de racines complexes. Attention aux erreur de signe. Le fait de faire pivoter de 180° notre courbe qui devient imaginaire fait que 1=-i, et que -1=i. x'Ox est confondu à i'Oi, mais les sens sont inversés.
Maintenant la question est : qu'est ce qu'on appelle des racines?
a est racine de f signifie, ni plus, ni moins, que f(a) = 0
Absolument.
On peut d'ailleurs vérifier par rétroaction. Une fois les racines obtenues avec le résumé :
<
http://nemoweb.net/jntp?9KdztCW-KyomxWa-b6n_706ZD1Y@jntp/Data.Media:1>
et en faisant attention aux signes (l'épouvante du mathématicien moderne), on vérifie que les racines sont correctes. Attention dans les vérifications : i^x=-1 systématiquement toujours et partout, mais (-i)^x dépend de l'exposant pair ou impair. S'il est pair (-i)^x=-1, s'il est impair (-i)^x=1.
Je peux placer mes 4 racines sur le plan x'Ox.
Le "plan" x'Ox ? ? ?
L'axe. Avec les racines complexes inversées. -6i se trouve en (6,0). 8i se trouve en (-8,0).
Ça n'a aucun sens. Si le domaine de f est une partie de R, ses racines sont représentables sur cette ligne. Si le domaine de f est élargi à un ensemble plus vaste, les racines sont dans cet ensemble qui n'est plus uniquement la droite (0x)
Il n'est pas nécessaire, pour l'instant, de territoire plus vaste.
Nous avons donc un simple plan cartésien, où l'on peut représenter absolument tout ce qu'on veut. Les collégiens et lycéens, peuvent utiliser facilement ce principe (plus concret et visuel).
A partir de la terminale, on peut alors leur proposer le plan de Gauss-Argand, et la trigonométrie,
mais c'est "autre chose", qui n'a rien à voir avec les courbes, et les représentations cartésiennes. J'y reviendrai plus tard.
Tu confonds le plan où l'on représente f comme fonction de R (une droite) vers R (une autre droite) avec le plan qui permet de représenter le domaine de f en tant que fonction de C dans C.
La représentation des racines de f comme fonction de C dans C n'a rien avoir le plan où on représente le graphe de f comme fonction de R dans R. Le domaine de f, comme fonction complexe, est déjà une partie du plan, de même l'est son image. Pour le visualiser il faut 4 dimension, d'où les graphes 3D + couleurs qui t'on été signalé.
On n'a pas besoin de quatre dimensions pour ça. Deux suffisent si l'on considèrent les choses telles que je les donne.
Ton petit schéma est certes très joli, mais il ne correspond à rien du tout, un carré rond, un pur néant mathématique.
Tu qualifies, comme toujours, ce que tu ne comprends pas comme néant. On connaît ta chanson.
Ce n'est pas que je ne comprends pas, c'est que c'est abstrait et inutile à ce moment de l'exposé.
De plus, les racines données sont fausses.
Maintenant, attention, je ne remets pas du tout en cause la représentation mathématique trigonométrique
et le plan de Gauss-Argand, j'en reparlerais probablement plus tard.
Alors tu te contredis : ce que tu appelle ci-dessus "pur néant" c'est *exactement* le plan d'Argand.
Non, ce n'est pas le plan d'Argand, le plan d'Argan, c'est autre chose.
C'est un plan où tu prends la partie réelle d'un complexe, et sa partie imaginaire, pour en faire une structure orthogonale. A noter que le module sera aa'+bb', c'est à dire a²+b², et pas a²-b², mais nous en reparlerons. On va alors pouvoir utiliser cela de façon trigonométrique, cela va être très utile, notamment en électro-magnétisme. Mais c'est "autre chose". J'ai l'impression que les mathématiciens mélangent les deux opérations et concepts.
Tu parles certes d'« autre chose », tu pourrais avoir l'honnêteté d'utiliser d'autre termes que "nombres complexes" et i.
Bah non, je pense qu'on peut garder les termes. Dans cette histoire du collège de Plougastel, qui s'apparente beaucoup à de la probabilité, on peut traiter l'ensemble en termes de complexes ou d'imaginaire, ce ne me semble pas trop génant.
A la question combien Mlle Watson a-t-elle d'élève dans sa classe (elle s'occupe des garçons), 25 (le matin) ou 7 (cours de rattrapage du soir)? On peut écrire Z=16±9i 16 étant la partie ferme, réelle, moyenne, et 9i la partie fluctuante, imaginaire.
Simplement, je dis que pour les racines de fonctions, c'est pas de ça qu'on parle, et il ne faut pas mélanger ça avec un repère de Gauss-Argand.
S'il est question des nombres complexes ce plan a un sens et un intérêt.
Oui, mais pas à ce niveau là de la discussion.
Ici, il ne s'agit que de chercher des racines de fonctions.
A noter que tu peux avoir des fonctions comme f(x)=x²+5x+4 qui par ce principe ont 4 racines! Et pas seulement 2 réelles.
Si tu avais passé un peu de temps à y réfléchir au lieu de palucher ton ego, tu aurais (peut-être) pu comprendre de lien entre la recherche de racines et la trigonométrie. Mais ça, n'est-ce pas, tu en es incapable par égotisme maladif.
Au final ce ne sont pas les termes choisis qui comptent, comme tu sembles le penser, mais la définition rigoureuse et cohérence de l'ensemble. Ce qui est appelé communément "nombres complexes" est défini rigoureusement et est cohérent. Ce que tu racontes n'a aucune définition, aucune cohérence au point d'être immédiatement contradictoire.
Ce n'est qu'à moitié cohérent.
Je pense que comme pour la RR, beaucoup de mathématiciens se sont au départ emberlificotés, voire insulter, et qu'il a fallu attendre un certain temps pour avoir un compromis.
Mais seulement un compromis qui marche "plus ou moins bien", mais qui n'est ni beau, ni vrai en totalité. R.H.
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