Re: lim n sin(2pi exp(1) n!) ?

Le 18/08/2021 à 15:24, Samuel DEVULDER a écrit :

Bon, je forum est un peu endormi aussi je vous propose un petit exercice
qui m'a été inspiré par les vidéos de Michael Penn que je trouve fort
intéressantes (mais trichez pas, hein ;) )
 
Sauriez vous calculer:
 
|        lim   n sin(2pi exp(1) n!)
|       n->oo

Je crois que j'ai trouvé, mais ça va être dur de l'écrire en art ascii.

rkc(k) = Fbzzr(z=0 à bb, k^z/z!)
rkc(1) = Fbzzr(z=0 à bb, 1/z!)
rkc(1)⋅a! = Fbzzr(z=0 à bb, a!/z!)
          = Fbzzr(z=0 à a, a!/z!) + Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!)
          = (ha ragvre) + Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!)

Fbvg N(a) = Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!)

Chvfdhr rkc(1)⋅a - N(a) rfg ha ragvre, ba n:
 fva(2cv⋅rkc(1)⋅a!) = fva(2cv⋅N(a))

Rkcyvpvgbaf N(a).
 N(a) = 1/(a+1) + 1/(a+1)(a+2) + 1/(a+1)(a+2)(a+3) + ...

Q'har cneg punpha qr prf grezrf rfg cbfvgvs, qbap N(a) > 1/(a+1).

Q'nhger cneg, punpha qrf (a+x) rfg fhcéevrhe à (a+1) cbhe x>1, qbap
punpha qrf 1/(a+x) rfg vaséevrhe à 1/(a+1), q'bù :
 N(a) < 1/(a+1) + 1/(a+1)(a+1) + 1/(a+1)(a+1)(a+1) + ...
P'rfg har féevr tébzégevdhr qbag yn fbzzr rfg 1/a.

Ra eéfhzé, 1/(a+1) < N(a) < 1/a.
Ba cbheenvg y'rkcevzre cyhf evtbherhfrzrag, znvf dhnaq a graq iref
y'vasvav N(a) fr pbzcbegr pbzzr 1/a.

Qh pbhc :
 yvz(a->bb) a⋅fva(2cv.N(a))
 = yvz(a->bb) a⋅fva(2cv/a)
 = yvz(a->bb) 2cv⋅fva(2cv/a)/(2cv/a)
 = yvz(k->0) 2cv⋅fva(k)/k
 = 2cv⋅yvz(k->0) fva(k)/k
 = 2cv

En déduire que exp(1) est irrationnel.

Pbzzr 2cv ≠ 0, yn qézbafgengvba ceépéqragr cebhir dhr rkc(1) rfg
veengvbaary.

J'ai bon ? ;-)

--
Olivier Miakinen